Cuenta bancaria tras fallecimiento de un titular

Les escribo a ver si me pueden orientar un poco:

Hace un año falleció mi madre. Mis padres tenían una cuenta bancaria a nombre de los dos. Mi padre tiene Alzheimer y cobra la pensión por invalidez en esta cuenta.
Yo soy hijo único, ya he presentado el impuesto de sucesiones y demás al banco, pero me surge la duda de si dejar la cuenta de mis padres solo a nombre de mi padre, o incluirme yo (¿cómo titular? ¿Cómo autorizado?)
En la escritura pone que mi padre se adjudica el pleno dominio de una mitad indivisa de los bienes (casa y cuenta bancaria) y en pago de sus derechos hereditarios se adjudica el usufructo de viudedad sobre la restante mitad indivisa. En cuanto a mi dice la nuda propiedad de una mitad indivisa. ¿Qué significa esto?
No sé, estoy muy perdido en este tema.