Notación musical

Todo lo que han dicho los colegas es totalmente correcto y amplísimo, sin embargo quisiera agregar algo mas que sin complicar mucho quizás te de una pista:

-La forma de clasificar los sonidos que se atribuye a Pitágoras y a Grecia, en realidad es más antigua, se ha encontrado que en incluso en Sumeria y Babilonia tenían una forma similar de "elegir" los sonidos y "acomodarlos".

-Sumeria tenia un sistema sexagesimal, como el que todavía usamos para contabilizar las amplitudes angulares, o las horas minutos y segundos (la agrupación de 60 segundos forman 1 minuto, 60 minutos forman una hora, etc)

-En la actualidad nosotros usamos un sistema decimal (10 simbolos, 10 unidades forman una del orden inmediato superior, etc), cuya aparición se justifica por la razón de que tenemos 10 dedos, que son los que usamos para contar.

-¿Cómo se justifica entonces la aparición del sistema sexagesimal? Y aqui viene lo loco: los sumerios en vez de contar los dedos, contaban las falanges de la mano derecha, usando el pulgar para señalarlas. Es decir que el pugar no se contaba. <Los dedos anular, indice, medio y meñique tienen 3 falanges cada uno, lo que suman (magia) 12 falanges. Cada vez que se llegaba a doce, se elevaba un dedo de la mano izquierda. Por lo tanto cuando habían levantado los cinco dedos de la izquierda sumaban 5 veces 12=60.

Ahí tienes porque doce. lo de 7, 4 y 3 se explica por si mismo (4 dedos, 3 falanges 4+3=7)

-La escala atemperada no pudo ser posible hasta que no se descubrieron los logaritmos, que permitían dividir los rangos de frecuencias en 12 partes iguales (7 naturales + 5 alteradas).

En suma tenemos las y naturales + las 5 alteradas porque hicieron encajar todo como el sistema sexagesimal babilonio, la misma razón por la que hay doce meses y demás. Todo basado en los 360 grados del círculo y sus divisiones, que matemáticamente se puede explicar pero es un "rollo" como dicen ustedes, aunque con lo de los dedos y babilonia creo que he dejado muchas pistas ;)

Grandísima pregunta... Realmente es LA PREGUNTA, con mayúsculas, pues aquí está la base de la música. Es imposible responder en un texto corto, pero te daré tanta información como sea capaz. Agárrate bien porque vienen curvas.
En realidad es aún más complicado que eso. Hablando con propiedad, en tiempos de Bach se hablaba de muchas más notas: las 7 naturales, 7 sostenidas y 7 bemoles. No era lo mismo un SOL# que un LAb, ni un SI# era un DO. De hecho está documentado incluso qué postura de dedos se usaba en el traverso (precursor de la flauta travesera) para emitir cada una de estas 21 notas, y hay quienes aún lo estudian en conservatorio.
Como era exageradamente complicado construir teclados con 21 notas por octava, y en ninguna pieza se utilizaban tantas, lo que se hacía era desechar notas. El clave se afinaba en función de la tonalidad en que se fuese a tocar. Fue Bach el que inventó una forma de afinar el clave que no era exacta pero servía igual para todas las tonalidades. Fundió sostenidos con bemoles (eran notas parecidas pero no exactamente iguales) y estableció un complicado proceso a seguir para ajustar las desigualdades entre intervalos.
El origen de todo este embrollo está en Pitágoras, que estudió las relaciones matemáticas entre las notas (frecuencias de ondas sonoras). Utilizó un instrumento con una sola cuerda fija por los extremos y un "traste" o "puente" móvil que dividía la cuerda en dos partes. Comprobó que los dos sonidos que producía eran "agradables" cuando la cuerda se dividía según una fracción sencilla. Por ejemplo, si las dos partes eran iguales (1/1) sonaba el unísono. Si una parte era el doble de la otra (1/2) sonaba el intervalo que llamamos octava, si era 3/2 sonaba lo que llamamos quinta.
Así, Pitágoras, empleando los intervalos de octava y quinta fue encontrando notas diferentes; aquí va el proceso:
Partimos de una nota que llamaremos DO (aunque pitágoras la llamase de otra manera). Subimos una quinta (buscamos una nota cuya frecuencia sea 3/2 de la del DO) y tenemos SOL. Subimos otra quinta y tenemos RE'. Nos hemos salido de la octava, así que bajamos una octava (frecuencia mitad) y tenemos RE. Continuamos el proceso y hallamos LA, MI, SI (natural), FA#, DO#, SOL#, RE#, LA#, MI#, y finalmente SI#, que es ligeramente diferente del DO.
De la misma manera, bajando quintas (buscando una frecuencia que sea 2/3 de la de partida) hallamos FA, SIb, MIb, LAb, REb, SOLb.
Puesto que lo que hemos hallado son frecuencias, darles nombre y llamar a unas naturales y a otras alteradas es elección nuestra.
Podríamos llamar SI natural al que llamamos bemol, y entonces el otro sería sostenido en vez de natural. Entonces quedaría un semitono entre LA y SI, y un tono entre SI y DO. De este tipo de elecciones surgen los modos musicales griegos (dórico, lidio, frigio...).
Imagínate ahora que hacemos lo que hemos dicho antes, tomar como nota natural el si bemol, y al otro tomarlo como sostenido. Piensa cómo quedaría el teclado del piano entonces. ¡Queda igual! Lo único que hemos hecho es desplazarlo.
Espero que de todo este batiburrillo saques algo en claro. Las notas musicales no son fijas, depende del criterio matemático que se use para determinar las relaciones entre ellas. Y estos criterios han evolucionado mucho desde Pitágoras hasta nuestros días.
Me doy por satisfecho si con esto hay algo que te haya quedado claro.

Voy a ver si te contesto a esto de una forma sencilla y que me entiendas, ya que hay muchos aspectos que atañen a los que son la formación de las escalas y su derivación en las actuales a partir de escalas antiguas, tanto griegas como medievales... etc.
El sistema nuestro de notación, el occidental, está basado en el ciclo de quintas. Este sistema de afinación viene dado a partir del sistema de afinación del "temperamento igualitario". Sería un rollo explicarte ahora cómo se llegó a este sistema de afinación. Digamos que otros sistemas antes de llegar a éste, generaban algunos problemas, sobre todo en instrumentos de afinación fija, como pianos, etc. Así que se creó el temperamento igualitario, que está bassado, como te decía antes, en el ciclo de quintas.
Para generar este ciclo de quintas se parte de una nota (generalmente la nota Do) y se van encadenando quintas justas sucesivas, es decir: Do-Sol-Re-La-Mi-Si-Fa#-Do#-Sol#-Re#-La#-Mi#(Fa) y se vuelve a Do. Si te fijas, ahí ya hemos conseguido los doce sonidos de la escala cromática.
Lo que antes te decía de que nuestro sistema está basado en esta afinación es porque hay otros sitios en los que se utilizan sistemas de afinación basados en cuartos, ocatavos o hasta a veces dieciseisavos de tono. Pero en la música occidental todo está basado en este sistema de afinación.
El por qué de que se tome como referencia la escala de Do, es porque es la única que no tiene alteraciones. Al formar una escala diatónica a partir de la nota Do (de Do a Do) pasamos por todas las notas y ninguna viene alterada. Así que nuestro sistema sólo tiene, tonos y semitonos. ¿Y tal vez te preguntes que por qué (por decir algo)el Mi es natural y no bemol? Ahí ya es cuestión de cómo se formaron las escalas actuales mayor y menor, a partir de los modos griegos y su evolución hasta hoy. Pero eso no es lo que preguntas. Por eso si quisieras ver por qué la escala mayor tiene el semitono entre el Mi y el Fa y el Si y el Do, habría que ir hasta las escalas griegas y cómo a partir de ellas se creó una jerarquización de los sonidos, una organización hasta llegar a las escalas que hoy conocemos como mayor y menor (mayor con semitonos entre III-IV y VII y VIII y menor con los semitonos entre II-III y V-VI, en el caso de la escala menor natural).
Lo que dices de la escala diatónica tiene 6 tonos... La escala diatónica está formada por una sucesión de siete notas diferentes, con 5 tonos y 2 semitonos. Por lo que decía antes sobre la jerarquización de los sonidos establecida así más o menos desde finales del siglo XVII. Si tú tomas de Do a Do (por ejemplo) una escala sólo formada por tonos, ya sería otro tipo de escala, la escala exátona, exáfona, o escala de tonos enteros. Esta escala era muy utilizada Debussy. Sólo hay dos escalas Exátonas, las que empieza en Do y la que empieza en Do#, porque cualquiera otra empiece en la nota que empiece, tendrá las mismas notas que las que empiezan en Do o Do#. Aquí volveríamos a los mismo de antes sobre porqué entonces la escala tiene 7 sonidos, y no 6 u 8 o 9... etc. Por supuesto que hay escalas de todo tipo, de 5 sonidos, de 6, de 7, de 8... así hasta de 12, que sería la escala cromática.
Espero haberte contestado el lo mayor a lo que querías. Claro que si aun te queda la duda de por qué los semitonos están entre Mi-Fa y Si-Do, tenría que decirte las esclas Griegas, luego las eclesiásticas y cómo al final se fueron derivando los 8 modos griegos hacia doce modos griegos y después se acabaron "simplificando" en los dos modos principales utilizados hoy (modo mayor y modo menor: ej. DoM:Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si-Do... Lam:La-Si-Do-Re-Mi-Fa-Sol-La).

Las razones por las cuales el sistema "temperado" de Occidente, ha devenido en la escala diatónica y cromática que conocemos y usamos hoy las vas a encontrar en los estudios físicos del comportamiento del sonido.
Los fenómenos de vibración física conocidos como sonido y estudiados en acústica y sus características son los que determinaron que unas culturas tuvieran determinadas escalas y otras, otros sistemas musicales.
La escala diatónica mayor (modo jónico) es una conclusión pitagórica de la observación y análisis del comportamiento de una determinada frecuencia sonora y la manera en que se deja afectar y afecta a otras frecuencias.
Esto está determinado en lo que se llama armónicos naturales, que son las frecuencias complementarias que forman y dan cuerpo a una frecuencia madre.
La relación matemática existente entre una vibración matriz y los primeros 16 armónicos (serie oible por el ser humano) determina las notas de la escala en mención.
Sin embargo existen mayores sutilezas que nuestros simplificadísimos tono y semitono.
Podríamos decir que el tono y el semitono diatónico son un resumen artificial del comportamiento natural del sonido y su relación con sus armónicos naturales.
Shömberg llama a la triada mayor el "resumen" de la tonalidad (derivada de la serie de armónicos naturales), y a la escala diatónica el "análisis" de la misma.