Sin poder verlo es un poco difícil orientarte, pero voy a intentarlo.
Con engranaje ¿puede ser que te refieras al bombín? El bombín es la pieza metálica donde se introduce la llave (puedes ver una ). Si se ha salido el bombín es que no estaba fijado, y quizá eso haya hecho que se moviera antes de que saliera y por eso no abría bien. Si es el bombín quizá te sirva con volver a ponerlo en su sitio y girar la llave para abrir la puerta como siempre, eso si, hay que introducirlo hasta el punto justo en el que el bombín puede girar, pues si lo introduces más o menos que su posición justa en la cerradura no puede hacerlo.
Si el bombín está fuera también se puede manipular directamente la cerradura por el agujero del bombín para abrirla usando un destornillador o algo parecido, aunque si no se sabe como puede ser un poco difícil.
Si lo que se ha salido no es el bombín no sabría decirte qué puedes hacer, porque no me imagino el problema. Quizá si pones alguna foto pueda ayudarte más.
Si no es lo que te comento y no sabes qué hacer yo te recomendaría que llamaras a un cerrajero, muchas veces sale más barato pagarle para que te arregle un pequeño problema que tratar de resolverlo a la fuerza y tener que llamarle luego para arreglar un problema mayor.
Siento no haber podido ser de más ayuda.