Transistorios electromagnéticos

En los comienzos de la electrotecnia el único tema de importancia era el estudio del régimen permanente, y en base a el con adecuados parámetros se decidía el diseño de los equipos para la red, con ciertos coeficientes adoptados en base a la experiencia, coeficientes llamados de seguridad (mejor digamos sin eufemismos: de ignorancia).
El instrumento de análisis para el estudio era el método indicado por Steinmetz, pero fueron tomando importancia fenómenos inexplicables con estos conocimientos.
Heaviside introdujo el método operacional para el análisis y resolución de los estados transitorios, por muchos años este método no fue reconocido por los matemáticos pero servia como insustituible herramienta de estudio de fenómenos no estacionarios.
Es un deber nombrar a Kron, creador de un enfoque tensorial que permitió aplicar el calculo tensorial a los circuitos eléctricos.
1. Según su origen, un proceso transitorio puede ser externo, originado por una descarga atmosférica, o
interno, provocado por una maniobra, una falla o una variación en la demanda.
2. Según los equipos involucrados, un proceso transitorio puede ser electromagnético cuando es
necesario analizar la interacción entre elementos de almacenamiento de energía electromagnética, es
decir, inductancias y capacitancias, o electromecánico cuando es necesario analizar la interacción
entre la energía almacenada en los sistemas mecánicos de las maquinas rotativas y la energía
almacenada en elementos puramente eléctricos.
El cálculo de procesos transitorios en sistemas eléctricos es una tarea difícil debido a la complejidad de
los equipos involucrados y a la interacción entre ellos. La solución de un proceso transitorio es prácticamente
imposible de obtener mediante cálculo manual, incluso en redes o sistemas muy simples. En la mayoría de los
casos solo es posible obtener una solución precisa o aproximada con la ayuda de una computadora..
Varias técnicas han sido desarrolladas para calcular procesos transitorios de naturaleza electromagnética
mediante computación digital. Básicamente se pueden dividir en dos categorías: técnicas en el dominio de la
frecuencia y técnicas en el dominio del tiempo. Las técnicas en el dominio de la frecuencia tienen
limitaciones cuando se trata de analizar procesos transitorios en sistemas de gran tamaño o con elementos no
lineales. De los varios métodos propuestos en el dominio del tiempo, el más popular se basa en el algoritmo
desarrollado por H. W. Dommel, que combina la regla trapezoidal y el método de Bergeron. Este algoritmo
fue el origen del EMTP (ElectroMagnetic Transients Program), que es la herramienta más empleada en el
cálculo de procesos transitorios en sistemas eléctricos de energía.
La regla trapezoidal es usada en el EMTP para convertir las ecuaciones diferenciales de los componentes
del circuito a simples relaciones algebraicas relacionando voltaje, corriente, y valores pasados conocidos, y el
método de Bergeron se aplica para la obtención del modelo discreto de la línea, para la que se emplea una
representación con parámetros distribuidos. Las ecuaciones de ambos métodos pueden ser representadas por
simples circuitos equivalentes que conducen a una formulación nodal del problema, que en un instante de
tiempo dado puede ser escrita como;
[G][v(t)] = [i(t)]+[h(t)]
Donde [G] = matriz constante de conductancias equivalentes; [v(t)] = vector de voltajes de nodos;
[i(t)] = vector de fuentes externas de corriente; y [h(t)] = vector de términos de historia. Los términos de
historia h(t) son conocidos de valor pasados de voltaje y corriente en las ramas. El valor de [G] y [h(t)]
Depende de la regla de integración ( o diferenciación ) numérica usada para discretizar las ecuaciones
diferenciales. Una de las ventajas del algoritmo de Dommel es el empleo de un paso de integración constante
que origina una matriz de conductancias constante que ha de ser calculada y triangulizada una sola vez. Sin
embargo, ¿el empleo de un? T fijo también presenta limitaciones: se debe escoger el paso de integración más
adecuado ya que su valor determina la máxima frecuencia que puede ser simulada
La regla trapezoidal aunque es de baja precisión tiene buenas características en términos de baja
distorsión y estabilidad numérica, esto es, un paso de integración demasiado grande puede originar errores o
desviaciones muy grandes con respecto a la solución correcta pero no provocara una divergencia respecto a
esta.
En muchas aplicaciones la regla debe trabajar como diferenciador puro (voltaje en la inductancia
después de una interrupción de corriente, o corriente en una capacitancia después de cerrar un switch) bajo
esas condiciones se introduce lo que se conoce como oscilaciones numéricas sostenidas.
2
Considerando el caso de la Figura 1, las soluciones correctas de la corriente y voltaje en la
inductancia después de la interrupción de la corriente son las 0266que se muestran en la figura con trazo
grueso. Sin embargo la solución que se obtiene de aplicar la regla trapezoidal para el voltaje en terminales de
la inductancia es la que aparece con trozo discontinuo.
Este comportamiento lo podemos comprender analizando la ecuación de una inductancia después de
aplicar la regla trapezoidal, que se puede expresar de la siguiente forma:
)] ( ) ( [
2
) ( ) ( t t i t i
t
L
t t v t v
L L L L
? - -
?
+ ? - - =
Si se admite que la solución ) ( t t v
L
? -
Es correcta antes de producirse la interrupción total, las
soluciones en los siguientes instantes, cuando i
L(t - ?t) e i
L(t) sean nulas, se cumplirá que
) ( ) ( t t v t v
L L
? - - =
Es decir, el voltaje a través de la inductancia comienza a oscilar alrededor de cero, con el valor de
voltaje que exista en el momento en que la corriente se anulo.
Varias técnicas han sido propuestas para controlar o reducir estas oscilaciones numéricas:
-
regla trapezoidal con amortiguamiento;
-
empleo de circuitos snu bb e r (circuitos RC);
-
interpolación lineal;
-
Ajuste critico del amortiguamiento o CDA (critical damping adjustment).
El amortiguamiento puede ser obtenido internamente, mediante la modificación de la regla trapezoidal, o
bien externamente, mediante la inserción de resistencias en paralelo con las inductancias o en serie con las
capacitancias.
La mayor desventaja de adherir amortiguamiento artificial, ya sea a través de la regla de integración o
resistencia externa es que el resto de la respuesta normal del sistema es distorsionada.
El empleo de circuitos Sn ubb er en paralelo con los interruptores es una técnica que tiene una ventaja
adicional, ya que este tipo de circuitos es empleado en muchas aplicaciones reales para proteger a los
semiconductores frente a sobretensiones.
Resto de
La red
L
i
L
i
L
t
v
L
t
Figura 1. Caso de oscilación numérica en un circuito
inductivo producida por un cambio brusco en la
derivada de una corriente
3
Otros esquemas que han sido propuestos para tratar de controlar las oscilaciones sin afectar el resto del
sistema están basados en el readaptamiento de condiciones iniciales e interpolación. Sin embargo esas
técnicas son relativamente complicadas de implementar en una clase de componentes del circuito.
El ajuste critico del amortiguamiento (CDA) pertenece a este ultimo grupo en el sentido de que no
interfiere con el esquema de la solución normal, pero no requiere de interpolación u otras complicaciones,
sino en el uso de una diferente regla de integración en puntos de discontinuidad.
¿Esta ultima técnica esta basada en la propiedad de la regla de Euler hacia atrás de proporcional un total
amortiguamiento de la discontinuidad en un? T de la simulación., es decir en el ajuste critico del
amortiguamiento, el método de integración es cambiado a el de Euler hacia atrás en dos tamaños de paso (de
?t/2) después de la discontinuidad y la simulación puede proseguir otra vez con la regla trapezoidal. ¿Usando
un tamaño de paso de ?t/2 con Euler hacia atrás la matriz de conductancias es la misma que para la regla
trapezoidal usando un tamaño de paso de?t, por lo que, únicamente la fórmula para evaluar los elementos en
el vector de historia [h(t)] necesita ser cambiado.
Debido a esta simplicidad, las modificaciones requeridas para implementar el CDA son muy sencillas, y
no solo para elementos simples como inductancias y capacitancias, sino también para modelos complicados,
como líneas de transmisión dependientes de la frecuencia y elementos no lineales.
Implementación del ajuste del amortiguamiento critico en el esquema EMTP.
La secuencia de eventos en la implementación del procedimiento es la siguiente:
I. La solución del sistema es encontrada normalmente en un tiempo t=t
1 con el circuito en
Configuración I (antes del cambio en la posición de el switch) de acuerdo a la ecuación
[G
I][v(t
I]=[i
s(t
I)]+[h
Trap(t
I)]
Donde los elementos en la matriz de conductancias [G
I] Son representados acorde a la regla
Trapezoidal.
II. La topología es ahora modificada de acuerdo a la nueva posición de los switches (estado II) La
matriz [G
II] es construida
III. El sistema es resuelto en un tiempo t
I + ?t/2 usando la regla de Euler hacia atrás. La matriz [G]
Usando Euler hacia atrás con tamaño de paso ?t/2 es la misma que usando trapezoidal con pasos de
?t, el único cambio requerido es la forma del termino de historia.
[G
II][v(t
I + ?t/2]=[i
s(t
I + ?t/2)]+[h
EU(t
I + ?t/2)]
IV. El sistema es resuelto en (t
1 +?t) Con Euler hacia atrás.
V. La simulación prosigue en t
1 + 2?t, t
1 + 3?t,... con la regla trapezoidal hasta que ocurra otra
operación de un switch.
A continuación se muestran los resultados en sistemas de prueba, obtenidos con un programa en el esquema
EMTP, el primero muestra la implementación de el ajuste critico del amortiguamiento en un circuito RL, se
compara los datos obtenidos en el programa con y sin uso de la técnica. Los dos restantes verifican la
estructura del programa.
I. Este es un caso muy simple, un circuito rectificador monofásico de media onda. Los oscilogramas sin y con
amortiguamiento crítico muestran la limitación de la regla trapezoidal y el efecto de la técnica CDA.