Series convergente y divergentes

Si bien con la serie 1/n puedo ir tomando cantidades crecientes de términos de manera de seguir sumando uno indefinidamente con la serie 1/n^2 no puedo. Las cantidades que adicionO son cada vez más chicas.
Es complicado demostrar el valor al que tiende la serie 1/n^2 que es Pi cuadrado sobre 6. Lo que se puede hacer usar algún método para demostrar que converge.
El más intuitivo es el método de acotar la serie con la integral
Si hacemos la diferencia
1/n -1/(n+1)= 1/n(1+n))
Vemos que para n muy grande
1/n-1/(n+1)
difiere muy poco de
1/n^2
Por este método se puede demostrar que la derivada de 1/n es -1/n^2
Es decir que la integral de 1/x^2 es 1/x Si por tiende a infinito 1/x tiende a cero .
Así la integral de 1/x^2 cuando por tiende a infinito esta acotada
En general la integran de 1/x^m es 1/x^(m-1) y el método sirve para todo n distinto de 1.La fórmula anterior para la integral se aplica a cualquier m que no sea 1. En el caso m=1 la integral vale logaritmo de n que para n tendiendo a infinito es infinito
Resumiendo que la serie 1/n^m converge para todo m que sea mayor que uno.
Cuando m=1 como ya sabes la serie diverge .

Si calculas el limite tendiendo a infinito de la fórmula general y te da distinto de 0 puedes afirmar con seguridad que la serie diverge; sin embargo, que el limite te dé 0 no significa ni que sea convergente ni divergente, no supone en un primer caso nada esclarecedor.