Transformada de laplace cuando f(t) =2t+1

cual es la tranformada de f(t)=2t

Pues tomaremos la definición de la transformada de Laplace:

$$\begin{align}&L \{f(t)\}=\int_0^{\infty}e^{-pt}f(t) dt\\ &\\ &L \{sen\,t\}=\int_0^{\infty}e^{-pt}sen\,t dt=\\ &\\ &u=sen\,t\implies du = \cos t dt\\ &dv= e^{-pt}dt\implies v = -\frac{e^{-pt}}{p}\\ &\\ &=\left[-\frac{e^{-pt} sen\,t}{p}\right]_0^{\infty}+ \frac 1p\int_0^{\infty}e^{-pt}\cos t dt =\\ &\\ &\\ &0+\frac 1p\int_0^{\infty}e^{-pt}\cos t dt =\\ &\\ &u = \cos t\implies du = -sen\,t\\ &dv = e^{-pt}dt\implies v=-\frac 1p e^{-pt}\\ &\\ &\left[-\frac{e^{-pt}\cos t}{p^2}\right]_0^{\infty}-\frac {1}{p^2}\int_0^{\infty}e^{-pt}sen\,t dt =\\ &\\ &\frac{1}{p^2}- \frac {1}{p^2}L \{sen\,t\}\\ &\\ &\\ &\text{Luego se cumple que}\\ &\\ &L \{sen\,t\}=\frac{1}{p^2}- \frac {1}{p^2}L \{sen\,t\}\\ &\\ &\\ &L \{sen\,t\} = \frac{\frac{1}{p^2}}{1+\frac {1}{p^2}}= \frac{1}{p^2+1}\end{align}$$

Vamos con la del coseno

$$\begin{align}&L \{\cos t\}=\int_0^{\infty}e^{-pt}\cos t dt=\\ &\\ &u=\cos t\implies du = -sen\, t dt\\ &dv= e^{-pt}dt\implies v = -\frac{e^{-pt}}{p}\\ &\\ &=\left[-\frac{e^{-pt} \cos t}{p}\right]_0^{\infty}- \frac 1p\int_0^{\infty}e^{-pt}sen\, t dt =\\ &\\ &\\ &\frac 1p -\frac 1p\int_0^{\infty}e^{-pt}sen\,t dt =\\ &\\ &u = sen t\implies du = \cos t dt\\ &dv = e^{-pt}dt\implies v=-\frac{e^{-pt}}{p}\\ &\\ &\frac 1p +\left[\frac{e^{-pt}sen\, t}{p^2}\right]_0^{\infty}-\frac {1}{p^2}\int_0^{\infty}e^{-pt}cost dt =\\ &\\ &\frac{1}{p}+0 - \frac {1}{p^2}L \{\cos t\}\\ &\\ &\\ &\text{Luego se cumple que}\\ &\\ &L \{\cos t\}=\frac{1}{p}- \frac {1}{p^2}L \{\cos t\}\\ &\\ &\\ &L \{\cos t\} = \frac{\frac{1}{p}}{1+\frac {1}{p^2}}= \frac{p}{p^2+1}\end{align}$$

Y finalmente la tercera

$$$$

En la primera respuesta me líe y puse s en vez de p, es que las dos letras suelen emplearse como variables en la transformada.

Y eso es todo.