Coeficientes de determinación y de correlación

Supongo que si intentas demostrar que el coeficiente de determinación es igual al coeficiente de correlación nunca lo vas a conseguir, ya que no son lo mismo, si no que el coeficiente de determinación es igual al cuadrado del coeficiente de correlación.
Bueno vamos a empezar a demostrar eso, primero la notación
R^2 = Coeficiente de determinación
r = Coeficiente de correlación
S(x)^2 = Quasivarianza de la variable X o varianza muestral de la variable X
S(y)^2 = Quasivarianza de la variable Y o varianza muestral de la variable Y
S(Xy) = Covarianza de las variables X e Y
y(i) = observaciones de la variable Y
y^(i) = observaciones estimadas de la variable Y, esto de normal se denota como Y sub i con el gorro arriba
x(i) = Observaciones de la variable X, esto es x sub i
B^(1)= Beta gorro 1, es decir coeficiente de la recta Y = B(0) + B(1)X estimado
y_ = Media de la variable Y
x_ = Media de la variable X
Sum =  es el simbolo de sumatoria y siempre va desde i = 1, hasta N
VE = Variabilidad explicada
VT = Variabilidad total
Pues una vez que tenemos definida toda la notación vamos a comenzar. Para el modelo con término constante tenemos que coeficiente de determinación es
R^2 = [Sum (y^(i)  - y_)^2] / [Sum (y(i) - y_)^2] = VE / VT
y que
VE = Sum (y^(i) - y_)^2
Teniendo en cuenta que la recta de regresión es:
y^ - y_ = ( S(xy) / S(x)^2 ) ( x - x_ ) = B^(1)(x - x_)
Tenemos que
VE = Sum (y^(i) - y_)^2 = ( S(xy) / (S(x)^2)^2 )·Sum (x(i) - x_)^2 = ( N·S(xy)^2 / S(x)^2 ) = N·B^(1)S(x)^2
Entonces
R^2 = VE / VT = { ( N·S(xy)^2 / S(x)^2 ) } / {N·S(y)^2} = S(xy)^2 / ( S(x)^2·S(y)^2 ) = r^2
ya que
r = S(xy) / ( S(x)·S(y) )
Espero que te sirva, si conoces el lenguaje Látex dímelo y te envío la solución en Látex y así te aclararás más.