¡Ayuda con progresión aritmética!
Hola experto, veras en esta semana eh estado viendo progresión aritmética y a pesar de que es un tema fácil tengo dudas al tratar de resolver problemas puesto que no se cuando se tiene que buscar an, a1, de, es o incluso que fórmula aplicar espero haberme dado a entender.
Espero me aclares mis dudas y me expliques como resolver el siguiente problema para darme una idea, gracias experto.
Problema:
Una compañía debe de distribuir 46000 en bonos entre sus 10 mejores vendedores. La décima persona de la lista recibirá 1000 pesos y la diferencia entre los bonos de los vendedores clasificados sucesivamente debe de ser constante determinar el bono de cada valor.
Espero me aclares mis dudas y me expliques como resolver el siguiente problema para darme una idea, gracias experto.
Problema:
Una compañía debe de distribuir 46000 en bonos entre sus 10 mejores vendedores. La décima persona de la lista recibirá 1000 pesos y la diferencia entre los bonos de los vendedores clasificados sucesivamente debe de ser constante determinar el bono de cada valor.
1 respuesta
Respuesta de Dani BP
1
Una progresión aritmética es una secuencia de números enteros donde la diferencia entre dos números cualesquiera de esta secuencia es constante (d).
Por ejemplo la secuencia
1,4,7,10,13,...
en este caso dos numeros consecutivos difieren en 3 unidades ya que 7-4 =3. Es decir, d=3.
A cada término de la secuencia le asignamos un "nombre". Por ejemplo, al primer término le asignamos el "nombre" a1, al segundo el nombre a2 y así sucesivamente... Al termino que ocupa la posición n le asignamos el nombre an. En el ejemplo, a1 = 1, a2 = 4, a3 = 7, etc.
Las dos fórmulas más importantes de progresiones aritméticas son:
an = a1 + d*(n-1) la cuál nos da el término de la secuencia en función de la posición que ocupa (n).
sn = n*(a1+an)/2 que nos da la suma de los primeros n términos de la secuencia.
Ahora que ya tenemos las herramientas, ataquemos el problema:
Por lo que entiendo del enunciado, queremos repartir 46000 pesos entre 10 personas según el orden que ocupan en una lista.
Sabemos que la primera persona (empezando por el final de la lista) recibirá 1000 pesos, la segunda más que la primera, la tercera más que la segunda y así... y que además la diferencia entre dos consecutivas tiene que ser constante.
Sabemos otra cosa más. Y es que la suma de esas cantidades ha de ser 46000.
Pues bien, ahora deberíamos traducir esto a progresiones aritméticas. Puesto que hemos hablado de una suma, usaremos primero la segunda fórmula.
En esta fórmula tenemos 4 cosas a determinar: a1, an, n y sn. Veamos que es lo que sabemos:
A1 = 1000 ya que es lo que recibe el décimo clasificado en la lista
n = 10 porque hay 10 personas
Sn (o s10 ya que n = 10) vale 46000 ya que es la suma
An (o a10) no lo sabemos.
Así pues despejamos an de la fórmula y resolvemos (si es necesario, pídeme que lo haga paso a paso):
an = (2*Sn - n*a1)/n
y substituimos por los valores que conocemos cuando n vale 10
a10 = (2*46000 -10 * 1000) / 10 = 8200
Esto significa que el que más haya vendido se llevará 8200.
Ahora miremos la primera fórmula.
Cuando n vale 10 conocemos
n = 10
a1 = 1000
a10 = 8200
d no lo sabemos (es una de las cosas que nos pide el problema)
Pues vamos a hallar d.
Despejamos d de la primera ecuación:
d = (an-a1) / (n-1)
y substituimos lo que conocemos cuando n vale 10
d = (8200 - 1000) / (10 - 1) = 800
Bien, pues esa es la diferencia que buscábamos.
Finalmente se nos pide encontrar que se le da a cada persona:
aplicamos la primera fórmula con n=2,3,4,5,6,7,8,9
a1 = 1000
a2 = a1 + 800*(2-1) = 1800
a3 = a1 + 800*(3-1) = 2600
a4 = a1 + 800*(4-1) = 3400
a5 = a1 + 800*(5-1) = 4200
a6 = a1 + 800*(6-1) = 5000
a7 = a1 + 800*(7-1) = 5800
a8 = a1 + 800*(8-1) = 6600
a9 = a1 + 800*(9-1) = 7400
a10 = 8200
Por ejemplo la secuencia
1,4,7,10,13,...
en este caso dos numeros consecutivos difieren en 3 unidades ya que 7-4 =3. Es decir, d=3.
A cada término de la secuencia le asignamos un "nombre". Por ejemplo, al primer término le asignamos el "nombre" a1, al segundo el nombre a2 y así sucesivamente... Al termino que ocupa la posición n le asignamos el nombre an. En el ejemplo, a1 = 1, a2 = 4, a3 = 7, etc.
Las dos fórmulas más importantes de progresiones aritméticas son:
an = a1 + d*(n-1) la cuál nos da el término de la secuencia en función de la posición que ocupa (n).
sn = n*(a1+an)/2 que nos da la suma de los primeros n términos de la secuencia.
Ahora que ya tenemos las herramientas, ataquemos el problema:
Por lo que entiendo del enunciado, queremos repartir 46000 pesos entre 10 personas según el orden que ocupan en una lista.
Sabemos que la primera persona (empezando por el final de la lista) recibirá 1000 pesos, la segunda más que la primera, la tercera más que la segunda y así... y que además la diferencia entre dos consecutivas tiene que ser constante.
Sabemos otra cosa más. Y es que la suma de esas cantidades ha de ser 46000.
Pues bien, ahora deberíamos traducir esto a progresiones aritméticas. Puesto que hemos hablado de una suma, usaremos primero la segunda fórmula.
En esta fórmula tenemos 4 cosas a determinar: a1, an, n y sn. Veamos que es lo que sabemos:
A1 = 1000 ya que es lo que recibe el décimo clasificado en la lista
n = 10 porque hay 10 personas
Sn (o s10 ya que n = 10) vale 46000 ya que es la suma
An (o a10) no lo sabemos.
Así pues despejamos an de la fórmula y resolvemos (si es necesario, pídeme que lo haga paso a paso):
an = (2*Sn - n*a1)/n
y substituimos por los valores que conocemos cuando n vale 10
a10 = (2*46000 -10 * 1000) / 10 = 8200
Esto significa que el que más haya vendido se llevará 8200.
Ahora miremos la primera fórmula.
Cuando n vale 10 conocemos
n = 10
a1 = 1000
a10 = 8200
d no lo sabemos (es una de las cosas que nos pide el problema)
Pues vamos a hallar d.
Despejamos d de la primera ecuación:
d = (an-a1) / (n-1)
y substituimos lo que conocemos cuando n vale 10
d = (8200 - 1000) / (10 - 1) = 800
Bien, pues esa es la diferencia que buscábamos.
Finalmente se nos pide encontrar que se le da a cada persona:
aplicamos la primera fórmula con n=2,3,4,5,6,7,8,9
a1 = 1000
a2 = a1 + 800*(2-1) = 1800
a3 = a1 + 800*(3-1) = 2600
a4 = a1 + 800*(4-1) = 3400
a5 = a1 + 800*(5-1) = 4200
a6 = a1 + 800*(6-1) = 5000
a7 = a1 + 800*(7-1) = 5800
a8 = a1 + 800*(8-1) = 6600
a9 = a1 + 800*(9-1) = 7400
a10 = 8200
