Hallar el termino general a la sucesión 1,3,9,19...

Muchas veces 4 términos es muy poco para definir una sucesión. Y otras tantas el tipo de sucesión viene dado por lo que estás estudiando en ese momento en el libro.

En esta sucesión lo único que veo es que las diferencias son

2, 6, 10

Luego puede inferirse que las diferencias entre términos son 4 unidades más grandes cada vez, La siguiente diferencia sería 14 y por tanto el número sería 33

O seá la sucesión sería

1, 3, 9, 19, 33, 61, 83, ...

Los términos son

1

1+2 = 3

1+2 + 2+4 = 9

1+2+2+4 + 2+4+4 = 19

1+2+2+4+2+4+4 + 2+4+4+4 = 33

1+2+2+4+2+4+4+2+4+4+4 + 2+4+4+4+4

que agrupando sumandos es

a1 = 1

a2 = 1+ 2

a3 = 1 + 2·2 + 4

a4 = 1 + 3·2 + 3·4

a5 = 1 + 4·2 + 6·4

a6 = 1 + 5·2 + 10·4

Luego está bien claro. El factor de 2 aumenta de 1 en 1 y el factor de 4 aumenta de la forma 1,3,6,10,15,

Eso es la suma de números naturales.

Tomaremos la fórmula de la suma de n números naturales

Sn = n(n+1)/2

Y ahora vamos a encajarlo todo con cuidado

ai = 1 + 2(i-1) + [(i-2)(i-1)/2]·4

ai = 1 +2(i-1) + 2(i-1)(i-2)

ai = 1 + 2(i-1)[1+i-2]

ai = 1 + 2(i-1)(i-1)

ai = 1 + 2(i-1)^2

Pues al final parece haber quedado bastante simplificada para lo que parecía. Vamos a comprobarlo

a1 = 1 +2(1-1)^2 = 1

a2 = 1 + 2(2-1)^2 = 1 + 2·1 = 3

a3 = 1 +2(3-1)^2 = 1 + 2·4 = 9

a4 = 1 +2(4-1)^2 = 1 + 2·9 = 19

a5 = 1 +2(5-1)^2 = 1 + 2·16 = 33

Vale, para los siguientes también sale.

Hemos hecho muchas cuentas. Si alguien hubiera tenido la intuición inicial de calcular el doble de los cuadrados mas uno habría acertado y no hubiéramos trabajado tanto, pero no siempre se está inspirado y saber resolver los problemas sin confiar en la inspiración tiene más mérito.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder hacer futuras preguntas.