Necesito ayuda con problemas de preparatoria de geometría analítica

Primero
Sabemos que la fórmula de la pendiente de una recta determinada por dos puntos es
m = (y2-y1)/(x2-x1)
Para que tres puntos estén alineados se tiene que cumplir que 1 y 2 estén alineados, 2 y 3 también y 1 y 3 también por tanto las pendientes deben de coincidir
m = (y2-y1)/(x2-x1)=(
= (y3-y2)/(x3-x2)=
=(y3-y1)/(x3-x1)
Sustituimos cada valor y nos sale que m = 1/2 en todos los casos por tanto están alineados
Segundo
Vamos a denominar O (0x, 0y) P(py, py) Q (qx, qy) los tres vértices de la recta Siendo A el punto medio del vector OP, B el punto medio del vector PQ y C el punto medio del vector OQ
A(5,4), B(-7,-3) Y C(-1,5)
¿Por la fórmula del punto medio vamos a obtener distintas ecuaciones que nos permitirá sacar las coordenadas del punto medio?
(OX + PX) / 2 = 5
(Oy + Py) / 2 = 4
(OX + QX) / 2 = -1
(Oy + QY / 2 = 5
(PX + QX) / 2 = -7
(PY + QY) / 2 = -3
OX + PX= 10
Oy + Py = 8
OX + QX = -2
Oy + QY = 10
PX + QX = -14
PY + QY = -6
Resolviendo el sistema?.
OX + PX= 10
- [OX + QX = -2]
Nos da
Px ? Qx = 12
SI a esta le sumamos
PX + QX = -14
NOs sale qeu
2PX = -2
PX = -1
OX + PX= 10
OX = 11
OX + QX = -2
QX = -13
Ya tenemos los coordenadas x de los vertices
Hacemos lo mismo con las y
Oy + Py = 8
- [Oy + Qy] = 10
PY ? Qy = -2
Si le sumamos
PY + QY = -6
2PY = -8
PY = -4
Oy + Py = 8
OY = 12
Oy + QY = 10
Qy = -2
Por tanto los vertices del triangulo son
O (11 , 12)
P (-1 , -4)
Q (-13, -2)
Tercero
Pues la formula que aplicas es correcta
(y2 + y1)/ 2 = Y
(x2 +x1)/ 2 = X
Siendo x2 y2, las coordenadas del punto que buscamos
SINDO x1 y1 las coordenadas del punto extremo conocido
Siendo X, Y las coordenadas del punto medio
(y2 + 8 ) / 2 = 3
(x2 + 7 )/ 2 = 4
Despejamos
Por tanto Y2 = 6 -8 = -2
Por tanto X2= 8 ? 7 = 1
En definitiva el otro extremo es (1, -2)
Cuarto
Existe una relacion entre las pendientes y el angulo que forman dos rectas
Tg X = (m2 + m1) / (1 + m2.m1)
M1= 1/2
M2 = 2
Tg x = (2 + 1/2) / (1 + 2x1/2)
Tg x = (3/2) / ( 2)
Tg x = 3/4
El angulo es 36.86 grados
Quinto
La ecuación de la recta es
Y = mx + n
Siendo M la pendiente y n el punto de corte con Ordenadas
Por tanto la recta es
Y = -1/2x - 3
Sexto
Tenemos ecuaciones de la forma
Ax + By + C = 0
Para saber si dos rectas son paralelas o coinciden hay que seguir las siguientes igualdades
A/A´ = B/B? y distinto a C/C´ Las rectas son paralelas
Si A/A´ = B/B? = C/C´ Las rectas coinciden
En nuestro caso
2/6 = -3/-9 = 5/15 = 1/3 por tanto las rectas coinciden

Te respondo:
1)
Lo mejor que puedes hacer es calcular la recta que pasa por dos puntos y mirar si el tercer punto cumple la ecuación de la recta.
Si calculamos la ecuación de la recta que pasa por P1 y P2, se tiene que:
M = (2-(-1))/(3-(-3))=3/6=1/2.
y la recta sería:
y= (1/2)x+(1/2).
Ahora P3(7,4). Veamos, si haciendo x = 7 nos da y = 7.
y = (1/2)*7+(1/2)= 8/2=4.
Por tanto verifica la ecuación y vemos que los tres puntos están alienados, en una recta.
2)
Hallar los vertices de un trinagulo sabiendo las coordenadas de los pountos medios.
Sean A,B,C los vértices del triángulo. LLamemos a p,q y r a los puntos (2,5), (4,2) y (1,1).
Sabemos que para hallar los puntos medios de un segmento (por ejemplo, D)formado por los puntos A(A1, B1) y B(B1, B2), se utiliza la siguiente fórmula:
D((A1+B1)/2,(A2+B2)/2).
Por lo tanto, si:
p es punto medio de A y B:
(2,5) = ((A1+B1)/2,(A2+B2)/2)
q es punto medio de A y C:
(4,2)=((A1+C1)/2,(A2+C2)/2) ;
r es punto medio de B y C:
(1,1) = ((C1+B1)/2,(C2+B2)/2)
con lo que obtenemos un sistema de 6 ecuaciones y 6 incógnitas:
2 = (A1+B1)/2
5 = (A2+B2)/2
4 = (A1+C1)/2
2 = (A2+C2)/2
1 = (C1+B1)/2
1 = (C2+B2)/2
Y los puntos a obtener, son los siguientes:
A(5,6), B(-1,4) y C(3,-2)
3) Hallar el otro extremo del segmento, conociendo un extremo y su punto medio:
Sabemos que las coordenadas del punto medio de un segmento formado por los puntos A(A1, A2) y B(B1, B2) son las siguientes:
PM ((A1+B1)/2,(A2+B2)/2) = (4,3) y por ejemplo sabemos que A (7,8) es conocido y debemos conocer B.
Por tanto:
4 = (7+B1)/2--> B1 = 1;
3 = (8+B2)/2--> B2 = -2;
Por lo que el punto pedido es:
B(1,-2). (En la fórmula que me indicas, la división por dos afecta a todo el termino).
4)
Para calcular el angulo formado por dos rectas debemos saber cual es su dirección...
Si nos dan en forma de pendiente, M, la relación que hay entre la pendiente y la dirección es la siguiente:
M = v2/v1, iendo v(v1, v2) la direccion de dicha recta.
Ahora, para hallar el ángulo formado por las rectas, se calcularía del modo siguiente:
( A es el angulo a calcular)
cos a = (v.w)/(|v|.|w|);
donde v.w es producto escalar ,
y |v|, |w| son los modulos de las direcciones de las rectas.
Por tanto:
r: M =1/2--> v (2,1)
s: M = 2--> w (1,2)
|v| = Raiz(2^2+1^1)=raiz(5)
|w| = raiz(1^2+2^2)=raiz(5).
v.w = (2,1).(1,2)= 2*1+1*2 =4.
Por lo que:
cos a = 4/(raiz(5)*raiz(5))=
= 4/5= 0.8;
Luego
a = arcos (0.8) , es el ángulo pedido.
5)
El baricentro se considera como el centro de gravedad de un triángulo. Si los vértices de un triángulo son A(A1, A2), B(B1, B2) y C(C1, C2), las coordenadas del baricentro son las siguientes
Baricentro((A1+B1+C1)/3,
(A2+B2+C2)/3)
Luego, las coordenas serían:
((5+(-7)+(-1))/3,(4+(-3)+5)/3)=
(-1,2).
6)
La ecuacion de la recta viene dada del modo siguiente:
y = mx+n donde m es la pendiente y n la ordenada al origen.
Por lo que, como tenemos todos los datos, se tiene que:
y = (-1/2)x+(-3)
y = (-1/2)x-3.
7)
Para determinar si dos rectas,
son paralelas, secantes o forman la misma se debe seguir el criterio siguiente:
r : Ax + By+C =0
s : Dx + Ey+F =0
si:
1.-(A/D) = (B/E) = (C/F), entonces, forman la misma recta.
2.-(A/D) = (B/E) pero distinto de (C/F), entonces son paralelas.
3.-(A/D)y (B/E) son distintas, entonces son secantes.
Esto se hace cuando la recta esta dada en forma general, cuando la y no eta despejada. En cambio, si la y esta despejada, si tienen la misma pendiente, serán paralelas, sino, secantes.
En tu problema:
2x-3y+5 =0
6x-9y+15=0
Hacemos las diviSiones:
(2/6)=(-3/-9)=(5/15).
Por tanto, son la misma recta.
Esto es todo.