Por favor necesito su ayuda, en vectores muchas gracias.
Si W = {v1, v2,…,vn}
es un conjunto de vectores I.i. En un espacio vectorial sobre los reales,
demuestra que cualquier subconjunto no
vacío de W es I.i.
1 Respuesta
Supongamos que hay un subconjunto linealmente dependiente. Y sin perder generalidad vamos a suponer que son los m primeros, ya que si no lo fueran reordenamos los vectores para que así sean.
Por definición existirán escalares a1, a2, ..., am com m <=n no todos iguales a 0 tales que
$$a_1v_1 + a_2v_2 + ...+ a_mv_m = 0$$
entonces tomaremos la combinación lineal que resulta de añadir el resto de vectores multiplicados por cero, obviamente el valor es el vector nulo
$$a_1v_1 + a_2v_2 + ···+ a_mv_m+0·v_{m+1}+0·v_{m+2}+···+0·v_n=0$$Y entonces tenemos que existe una combinación lineal de todos los elementos de W igualada al vector nulo con algún escalar no 0, luego W es linealmente dependiente. Pero esto es absurdo ya que la hipótesis es que W es linealmente independiente.
Luego no puede haber ningún subconjunto que sea l.d.
Y eso es todo.
