Función diferenciable que verifica unas condiciones

Es casi más difícil interpretar la notación que resolverlo

¿Con f'_{1,-1}(0,0) supongo que quieres decir la derivada direccional en el punto (0,0) respecto del vector (1,-1)? ¿Es eso, no?

Pero con f''_{1,0}(0,0) = -6 si que no sé a que te refieres.

Podrías darme los detalles de lo que significa exactamente, o escribirlo con el editor de ecuaciones o escanear el ejercicio y mandármelo a [email protected].

He intentado poner la fórmula con el editor de ecuaciones pero me dá error. Supuestamente se refiere a la segunda derivada en el punto (0,0) respecto del vector (1,0). Voy a enviarte un pantallazo con el ejercicio, así lo ves tú mismo.

Un Saludo

Si, es lo que pensaba y me temía. La derivada direccional segunda. Es algo que tiene todo el sentido y derecho de existir, pero que no suele estudiarse en ningún sitio. Si se estudia en tu libro dime cuál es para ver si lo puedo encontrar en internet.

Puede que te haya pasado que el editor de ecuaciones no admite las comillas, lo fastidia todo si encuentra una. Usa el acento ´ en su lugar

He buscado documentación en Internet pero no encontrá nada, de todas formas intentaré resolverlo aplicando la definición.

Dada una función f(x, y) diferenciable que verifica las siguientes condiciones:
f'_{1,-1}(0,0)=7
f'_{1,2}(0,0)=-8
f''_{1,0}(0,0)=-6
f''_{0,1}(0,0)=3
f''_{1,1}(0,0)=1
a) Calcular la gradiente de la función en el punto (0,0)
b) Calcular la hessiana de la función en el punto (0,0)

Sabemos que las derivadas direccionales son el producto escalar del gradiente por el vector de la dirección

$$\begin{align}&\text{Sea }\nabla f(0,0)=(a,b)\\ &(a,b)·(1,-1)=7 \implies a-b=7\\ &(a,b)·(1,2)=-8 \implies a+2b=-8\end{align}$$

Y a la segunda le restamos la primera

3b = -15

b=5

a-5=7

a=12

Luego el gradiente de f en (0,0) es el vector (12,5) que se suele expresar mejor como:

$$\nabla f(0,0) = 12  \overrightarrow{i} + 5 \overrightarrow{j}$$

Y así como la relación entre las derivadas parciales y direccionales a través del gradiente es notoria, no lo es tanto la relación entre las derivadas parciales segundas y las direccionales segundas.

La derivada parcial segunda respecto a x dos veces es la derivada direccional con dirección (1,0) de la derivada direccional con dirección (1,0) de f(x, y)

Asi que lo que nos dicen equivale a:

$$\begin{align}&f_{(1,0)}^{´´}(0,0)= \frac{\partial^2 f(0,0)}{\partial x^2}=-6\\ &\\ &f_{(0,1)}^{´´}(0,0)= \frac{\partial^2 f(0,0)}{\partial y^2}=3\\ &\\ &\end{align}$$

Lo que no veo claro es que la segunda derivada direccional en la dirección (1,1) sea la segunda parcial respecto a x e y.

LO DEJO de momento y ya lo retomaré. Entre tanto me vendría bien si me pudieras facilitar el libro o algún teorema que os hayan enseñado que de respuesta a eso que te he dicho que no tengo claro.

Acabo de enviarte mis apuntes por e-mail. Nosotros no hemos utilizado libro alguno este año. Sin embargo, ahora que lo pienso, en la guía docente de la asignatura viene una bibliografía básica y puede ser que lo haya sacado de alguno de esos libros!! Te mando otro e-mail con la información.

Pero no hay nada especial sobre las derivadas direccionales segundas, pone lo que más o menos ya había deducido por mi cuenta, no hay nada milagroso.

Estudiaré como resolverlo.

Pero antes, y por si tardo en resolverlo voy a corregir que hice mal la parte primera. Como otras veces, se me olvidó que hay que normalizar el vector dirección para calcular la derivada direccional como producto escalar del gradiente por el vector dirección.

$$\begin{align}&\text{Sea }\nabla f(0,0)=(a,b)\\ &\\ &(a,b)·\left( \frac{1}{\sqrt 2},\frac{-1}{\sqrt 2} \right ) =7 \implies \frac{a-b}{\sqrt 2}=7\\ &\\ &\\ &\\ &(a,b)·\left( \frac{1}{\sqrt 5},\frac{2}{\sqrt 5} \right ) =-8 \implies \frac{a+2b}{\sqrt 5}=-8\\ &\\ &\\ &\\ &a-b= 7 \sqrt 2\\ &a+2b=-8 \sqrt 5\\ &\\ &\text{Restamos la primera a la segunda}\\ &\\ &3b = -8 \sqrt 5 - 7 \sqrt 2\\ &\\ &\\ &b =\frac{-8 \sqrt 5 - 7 \sqrt 2}{3}\\ &\\ &a=b+7 \sqrt 2=\frac{-8 \sqrt 5 - 7 \sqrt 2}{3}+7 \sqrt 2=\frac{-8 \sqrt 5 + 14 \sqrt 2}{3}\\ &\\ &\\ &\\ &\nabla f(0,0) = \frac{-8 \sqrt 5 + 14 \sqrt 2}{3}\,\overrightarrow{i}+\frac{-8 \sqrt 5 - 7 \sqrt 2}{3}\,\overrightarrow{j}\end{align}$$

Espero no haberme equivocado ahora en las cuentas, revísalas por si acaso,

Bueno, espera para que haga la parte del Hessiano.

Podemos obtener la derivada direccional segunda usando el método del gradiente dos veces, la primera sobre la función f y la segunda sobre la función derivada direccional que se obtiene de la primera.

$$\begin{align}&f_{(1,1)}^{´}(x,y)=\frac{1}{\sqrt 2}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} +\frac{1}{\sqrt 2}\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\\ &\\ &\\ &\\ &f_{(1,1)}^{´´}(0,0)=\frac{1}{\sqrt 2}\frac{\partial \left ( \frac{1}{\sqrt 2}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} +\frac{1}{\sqrt 2}\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right )}{\partial x}+\frac{1}{\sqrt 2}\frac{\partial \left ( \frac{1}{\sqrt 2}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} +\frac{1}{\sqrt 2}\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right )}{\partial y}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{1}{2}\left ( \frac{\partial^2 f(0,0)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f(0,0)}{\partial y \partial x}+\frac{\partial^2 f(0,0)}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 f(0,0)}{\partial y^2}\right )=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f(0,0)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f(0,0)}{\partial y \partial x}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f(0,0)}{\partial y^2}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Luego hemos obtenido una interesante relación entre la derivada segunda direccional y las derivadas parciales segundas.

Llamaremos

a = derivada parcial segunda respecto x dos veces

b = derivada parcial segunda respecto de x e y

c = derivada parcial segunda respecto de y dos veces

Todas ellas en el punto (0,0) por supuesto.

Las ecuaciones que se deducen del hecho de que las derivadas direccionales segundas en (0,1) y (1,0) coincidan con las parciales segundas en x dos veces e y dos veces, más lo que acabamos de probar, dará estas tres ecuaciones

a=-6

c=3

a/2+c/2+b=1

Es muy sencilla de resolver

-6/2 + 3/2 + b = 1

b = 1 + 6/2 - 3/2 = =4-3/2 = (8-3)/2 = 5/2

Luego la matriz Hessiana de f en (0,0) es:

| -6   5/2 |
| 5/2   3  |

Y eso es todo.

Ya he revisado todas las operaciones. Lo que me choca es:

$$-7\sqrt{2}+ 7\sqrt{2}$$

¿No se anularía y quedaría 0 ?

A la espera de su respuesta,

Gracias y Un Saludo

Parece ser que antes, hemos escrito los dos a la vez...Lo único que no entiendo es ¿qué se hace para obtener este resultado?

(8-3)/2

A la espera de su respuesta,

Gracias y Un Saludo

No hay ningún sitio donde aparezca

$$-7\sqrt{2}+ 7\sqrt{2}$$

tal como lo expresas.

Si te refieres a esta línea

$$a=b+7 \sqrt 2=\frac{-8 \sqrt 5 - 7 \sqrt 2}{3}+7 \sqrt 2=\frac{-8 \sqrt 5 + 14 \sqrt 2}{3}$$

ten en cuenta que el primero está dividido por 3 mientras que el segundo no, luego no son lo mismo. Para hacer la operación hay que poner denominador común 3 y entonces el que no tenía denominador multiplica por 3 el numerador

$$\frac{-8 \sqrt 5 - 7 \sqrt 2}{3}+ \frac{21 \sqrt 2}{3}=\frac{-8 \sqrt 5 +14 \sqrt 2}{3}$$

La otra duda la tienes en esta línea. Siempre que son expresiones sencillas procuro no usar el editor que cuesta bastante usarlo.

b = 1 + 6/2 - 3/2 = =4-3/2 = (8-3)/2 = 5/2

La podremos con el editor por si la entiendes mejor así:

$$b = 1 + \frac{6}{2} - \frac{3}{2} = 4-\frac{3}{2} = \frac{8}{2}-\frac{3}{2}= \frac{8-3}{2} = \frac{5}{2}$$

Y eso es todo. Creo que tienes alguna dificultad en la suma de fracciones, deberías practicar.