Mostrar que una sucesión está acotada.
Hola! Tengo el siguiente problema:
Demuestre que la siguiente sucesión tiene una sucesión convergente:
$$e^{sen(5n)}$$Tengo un teorema que dice: Toda sucesión acotada tiene una sub- sucesión que converge a algún punto.
Por lo que solo tendría que demostrar que la sucesión esta acotada.
Gracias.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Pues usando ese teorema ya está hecho lo más complicado del problema y lo que queda es bien fácil.
La función sen(5n) está acotada por 1 y -1, oscila todo lo que quiere, pero su valor siempre está entre esos límites.
Y la función e^x es monótona creciente, luego
e^(sen 5n)
Tendrá un mínimo en e^(-1) y un máximo en e^1, esas te pueden servir como cotas inferior y superior. Ya solo hay que aplicar el teorema y habrá una subsucesión convergente.
Y eso es todo.
