Probabilidad. Variables aleatorias. Distribución Normal y Chi-Cuadrado.

Esta pregunta ya se sale algo de lo común. En algún sitio estará la teoría pero yo no la ehe dado, asi que la resolveré por deducción.

Si X ~ N(12, sqrt(8)) entonces

U = X-12 ~ N(0, sqrt(8))

Y la otra es más complicada

Si la variable Y tiene una función de distribución F(Y)

La variable Z = 2.45sqrt(Y) tendrá una función de distribución G tal que

G(Z) = F(Y)

Despejamos Y

Z/2.45 = sqrt(Y)

(Z/2.45)² = Y

luego

G(Z) = F[(Z/2.45)²]

si f(z) es la función de densidad de F, y g(z) la de G

la función de densidad de G(Z) será la derivada de G(Z)

g(z) = F ' [(Z/2.45)²]· 2Z/2.45² = f[(z/2.45)²]·2z/(2.45)²

Como te decía esto estará mejor explicado en algún sitio. Nos dicen que las dos variables son independientes, entonces la función de densidad conjunta será el producto de las dos.

La de función de densidad de U es la típica de la N(0, sqrt(8))

La de Z es la de una chi-cuadrado evaluada en (z/2.45)² y multiplicada por 2z/(2.45)², una cosa bastante rara que ya escribiremos en el momento que haga falta.

Los límites de integración de U son (-infinito, + infinito)

Los de Z son [0,+infinito)

Y nos dicen que debe ser U>Z

luego los límites de Z donde se cumple lo que nos piden se limitan a [0, +infinito) y los de U a [0,z]

La probabilidad será esta integral

$$\int_{0}^{+\infty}\int_0^uh(u,z)dzdu$$

Y h es la función de densidad conjunta que es el producto de las dos y que me da miedo ponerme con ella

La función de densidad la U ~ N(0, sqrt8)) es

$$\begin{align}&\frac{1}{\sqrt 8 \sqrt{2\pi}}e^{-\frac 12 \frac{u²}{8}}= \frac{1}{4 \sqrt{\pi}}e^{-u² / 16}\\ &\\ &\\ &\text {Y la de Z es la leche. Para una variable x simple es}\\ &\\ &\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}·x^{k/2-1}e^{-x/2}\\ &\\ &\\ &\text{Como k es 8}\\ &\\ &\frac{1}{16·3!}x^3e^{-x/2}= \frac{x^3e^{-x/2}}{96}\\ &\\ &\text {Pero la función de densidad de z es mucho más compleja}\\ &\text{Es esa función en } (z/2.45)^2 \text {multiplicada por }2z/2.45²\\ &\\ &\frac{1}{96}\frac{z^6}{2.45^6}e ^{-(z^2)/(2·2.45^2)}·\frac{2z}{2.45^2}=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{48·2.45^8}z^7e^{-z^2/12.005}\\ &\\ &\\ &\\ &P(U>Z)=\\ &\\ &\frac{1}{192·(2.45)^8 \sqrt{\pi}}\int_{0}^{+\infty}\int_0^u e^{-u^2/16}·z^7·e^{-z^2/12.005}dz\,du =\end{align}$$

Y esta integral no se le puede desear ni al peor enemigo, así que lo haré con el ordenador con el programa Máxima.

Y lo que me da es esto

0.035393005098161 / sqrt(pi)

Aproximadamente

0.01996836481

¡Y eso es todo, que pasada creo yo! Ya me contarás como la resolvéis en clase si la resolvéis. Pero en el futuro, ahora puntúa