Ejercicios de análisis matemático...Ayuda por favor !
1. Demostrar que si (xn) no esta acotada, entonces existe una subsucesion (xnk) tal que lim (1/xnk)=0
2.si xn:= (-1)^n/n, encontrar una subsucesion de (xn) que se construye en la segunda demostración del teorema de bolzano-weirstrass.
3. Sea ( In) una sucesión anidada de intervalos cerrados. Para cada n E N, sea xn E In, Usar el teorema de bolzano-weirstrass para dar una demostración del teorema de los intervalos anidados.
4. Supóngase que toda sucesión de X=(xn) tiene una subsucesion que converge a 0, Demostrar que lim X=0
5. Sean x1:= a>0 y x(n+1):=xn+1/xn. Demostrar si xn converge o diverge
6. Sean a>0 y z1>0. Se define zn+1= (a+zn)^1/2 para cada n E N, demostrar que zn converge y encontrar el limite.
7. Sea (xn) una sucesión acotada y para cada n E N, sean Sn=sup{xk: k =>n} y
tn=inf{xk: k =>n}. Demostrar que (sn) y (tn) son convergentes. Demostrar asimismo que si lim (sn)= lim(tn), entonces (xn) es convergente. [A lim (sn) se le llama el limite superior de (xn)y a lim (tn) el limite inferior de (xn)]
8. Sea (an) una sucesión creciente, (bn) una sucesión decreciente y supóngase que
an=< bn para toda n E N. Demostrar que lim (an)=< lim (bn) y deducir a continuación ql teorema de los intervalos anidados a partir del teorema de convergencia monótoma .
9. Sea A un subconjunto infinito de R, que tiene una cota superior y sea u:=sup A, Demostrar que existe una sucesión creciente (xn) con xn E A, para toda n E N tal que
u=lim (xn)
10. sean y1=1 y
$$y(n+1):=\sqrt(2+yn)$$
Demostrar que (yn) es convergente y encontrar su limite.
11. Sea x1>1 y xn+1:=2-1/xn para n=>2. Demostrar que (xn) esta acotada y que es monótomaEncontrar el limite
1 respuesta
Si xn no está acotada no tiene supremo, ínfimo o ambas cosas. Ya que si tuviese las dos tendría una cota superior e inferior, luego estaría acotada.
Si no tiene supremo.
Para todo K€R existe un m tal xm > K
Tomemos la subsucesión
y1 = primer xj tal que xj>1
y2 = primer k>j tal que xk>2
y3 = primer l>k tal que xl >3
Siempre debe existir yi ya que si no fuese así la sucesión estaría acotada superiormente y hemos supuesto que no lo está
Y ahora tomamos la sucesión
1/yn
Dado un epsilon>0 cualquiera existe un m tal que 1/m < epsilon
para todo n > m tenemos
yn > m
1/yn < 1/m < epsilon
luego el límite de 1/yn es 0.
Y si no estuviera acotada inferiormente la demostración es análoga siendo
y1 = primer j tal que yj <-1
y2 = primer k>j tal que yk <-2
Etc.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Como te dije contesto un ejercicio en cada pregunta, si los mandas en preguntas separadas intentaré contestarlos.
El segundo no voy a poder hacerlo porque yo no sé cuál es la segunda demostración del teorema de Bolzano-Weirstrass que habéis dado, a no ser que me dijeras el libro.
introducción al análisis matemático de una variable
bartle-sherbert.
http://es.scribd.com/doc/22579183/Introduccion-Al-Analisis-Matematico-de-Una-Variable
Ya descargué ambos. Parecen iguales pero uno ocupa tres veces más que el otro, ¿sabes el motivo?
Pues cuando quieras manda los otros ejercicios uno a uno, pero no te garantizo respuestas rápidas, tengo muchas preguntas pendientes de contestar yel tema de los ejercicios no es de los que mejor se me dan.
Es que uno esta completo y el otro no el último link, podría entonces solo ayudarme con el ejercicio 10 y ya...... Gracias por su atención y ayuda.
¡Ah, ya lo veo!
Pues yo tengo la edición 3 del libro completa, con una pagina en cada página ocupando lo mismo que el pequeño. Luego mucho mejor. Pero no me digas dónde lo descargué porque no me acuerdo, he visitado muchas páginas para descargar libros.
Si, te ayudo con el 10, pero puntúa esta pregunta y mándame el ejercicio en otra.
