Desigualdades o Inecuaciones de Segundo Grado con valor absoluto.

Esa desigualdad con valor absoluto se transforma en que el valor del interior este comprendido entre -3 y 3

-3 < x^2 - 3x - 7 < 3

Esto son dos desigualdades resolvamos cada una y la intersección de las respuestas será la respuesta.

Primera desigualdad

-3 < x^2 - 3x - 7

0 < x^2 -3x - 4

me gusta más así

x^2 - 3x - 4 > 0

Veamos en que puntos vale 0 eso, que como la función x^2-3x-4 es continua, determinaran intervalos con signo constante para la función en cada uno

x^2 - 3x - 4 = 0

$$x= \frac{3\pm \sqrt{9+16}}{2}= \frac{3\pm 5}{2}= -1\; y\; 4$$

Esto divide la recta real en tres intervalos, veamos en cuales se cumple x^2 - 3x - 4 > 0

en (-oo, -1) tomemos x=-2; (-2)^2 -3(-2) - 4 = 6 >0 sirve

en (-1, 4) tomemos x = 0; 0^2 - 3·0 - 4 =-4 < 0 no sirve

en (4, oo) tememos x=5; 5^2 - 3·5 - 4 = 6 >0 sirve

luego la solución para esta desigualdad es

(-oo, -1) U (4,oo)

SEGUNDA DESIGUALDAD

x^2 - 3x - 7 < 3

x^2 - 3x -10 < 0

resolvemos la ecuación x^2 -3x - 10 = 0

$$x=\frac{3\pm \sqrt{9 +40}}{2}=\frac{3\pm7}{2}=-2\; y\; 5$$

Veamos en que intervalos se cumple x^2 - 3x -10 < 0

En (-oo, -2) tomemos x=-3; (-3)^2 - 3(-3) -10 = 8 > 0 no sirve

En (-2, 5) tomemos x=0; 0^2 - 3·0 - 10 = -10 < 0 sirve

En (5, +oo) tomemos x=6; 6^2 - 3·6 - 10 = 8 > 0 no sirve

Luego la solución de esta inecuación segunda es

(-2, 5)

Y ahora hay que hallar la intersección de las dos soluciones que son

(-oo, -1) U (4, +oo)

(-2, 5)

Y se ve que la solución es

(-2, -1) U (4, 5)

Y eso es todo.