Demostración de aproximación de funciones continuas 3

Demostremos los dos sentidos de la implicación

absolutamente convergente ==> conjunto de sumas finitas esta acotado

Sea una suma finita de j términos de la serie cuyos subíndices son

{c1, c2,...,cj)

Sea L el límite de la serie de los valores absolutos

$$\begin{align}&-\left|\sum_{i=1}^ja_{c_i}\right| \le\sum_{i=1}^ja_{c_i}\le \left|\sum_{i=1}^ja_{c_i}\right|\\ &\\ &\text{Aplicando la desigaldad triangular y }\\ &\text{eñ hecho de ser absolutamente convergente}\\ &\\ &-L\le-\sum_{i=1}^j\left|a_{c_i}\right|\le-\left|\sum_{i=1}^ja_{c_i}\right| \le\sum_{i=1}^ja_{c_i}\le \left|\sum_{i=1}^ja_{c_i}\right|\le \sum_{i=1}^j\left|a_{c_i}\right|\le L\end{align}$$

Y ahora al revés

Conjunto de sumas finitas acotado ==> absolutamente convergente

Sea L la cota superior de las sumas finitas y M la inferior tomemos una cota única que sea la de mayor valor absoluto y la volvemos a llamar L se cumplirá

$$\begin{align}&-L \le \sum_{i=1}^ja_{c_i}\le L \\ &\text{para cualquier suma finita de términos de la serie}\end{align}$$

Y si en concreto tomamos series con términos solo positivos también se cumple que la suma es menor que L. O si tomamos las que tienen solo términos negativos se cumplirá que su suma será mayor que -L

Luego dada una suma de los valores absolutos por la parte de los positivos sumará menos de L y por la de los negativos también sumará menos de L con lo cual la suma total será menor o igual que 2L. Luego la suma de valores absolutos está acotada.

Y no puede haber dós límites distintos ya que habría infinitos términos que nos llevaran de un límite al otro, tomando una suma suficientemente grande de esos términos se sobrepasaría cualquier cota y la hipótesis quedaría contradicha.

Y eso es todo.