Anónimo
Problemas de ecuaciones.
Tengo un problema de geometría que tengo que resolver usando ecuaciones y no se resolverlo, me podrías ayudar explicándome como lo has hecho. Muchas gracias de antemano.
Los lados de un triangulo miden 18 cm, 16 cm y 9 cm. Si restamos la misma cantidad a los tres lados obtendremos un triangulo rectángulo. ¿De qué cantidad se trata?
2 Respuestas
La hipotenusa es el lado más largo del triángulo rectángulo, luego será el lado que resulte de restar esa cantidad fija a los 18 cm, los catetos vendrán de restar la cantidad a 16 y 9 cm.
Sea z la cantidad que restamos (no se puede usar equis porque el corrector ortográfico se come las equis). Aplicando el teorema de pitágoras tendremos:
(18-z)^2 = (16-z)^2 + (9-z)^2
Aplicando la igualdad notable (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 tenemos
324 - 36z + z^2 = 256 - 32z + z^2 + 81 - 18z + z^2
324 - 36z + z^2 = 337 - 50z + 2z^2
0 = z^2 -14z +13
Y resolvemos la ecuación de segundo grado con la fórmula archiconocida
z = [14 +- sqrt(14^2 - 4·13)] / 2 = [14 +- sqrt(196 - 52)] / 2 = [14+- sqrt(144)] / 2
z = (14 +- 12) / 2
z1 = 13
z2 = 1
Si restamos 13 el lado de 9 cm quedará con longitud negativa, luego esa respuesta no sirve.
Entonces la respuesta es 1cm.
Vamos a verificarlo rápidamente
17^2 = 15^2 + 8^2
289 = 225 + 64
289 = 289
Luego es cierto
Y eso es todo.
Sea a el valor que desconocemos. Con lo cual las longitudes de los lados serían:
18-a
16-a
9-a
En un triangulo rectángulo, el lado mayor es la hipotenusa. El lado mas largo es 18-a. Aplicando el teorema de pitágoras: (el cuadrado de la hipotenusa es la suma del cuadrado de los catetos)
(18-a)^2=(16-a)^2+(9-a)^2
Simplificando:
a^2-14a+13=0
Esta ecuación tiene dos soluciones (1 y 13). 13 no tiene sentido, ya que quedarían longitudes de lados negativas, por lo que la respuesta es 1.