¿Cual es la prueba que para todo n en el natural de las siguientes enunciados?

No sé hasta que punto habrás dado Teoría de Números, creo que sí porque este ejercicio es algo complicado. Por esos asumiré que conoces las propiedades de las congruencias, si no fuera así me lo dices.

Lo demostraremos por inducción. Lo que hay que demostrar es que esa expresión es congruente con 0 módulo 11. Y lo haremos por inducción.

Recuerdo que el símbolo # significa congruente

i) Demostramos que se cumple con n=1

3^(2·1+2) + 2^(6·1+1) = 3^4 + 2^7 = 81 + 128 = 209 = 11·19 # 0 (mod 11)

ii) supongamos que se cumple para n y veremos que se cumple para n+1

3^[2(n+1)+2] + 2^[6(n+1)+1] =

3^(2n+4) + 2^(6n + 7) =

3^2 · 3^(2n+2) + 2^6 · 2^(6n+1) =

9 · 3^(2n+2) + 64 · 2^(6n+1)

Y ahora es cuando se usan propiedades de congruencia:

Si a un número le restamos un múltiplo del módulo se mantiene la congruencia, lo que

64 · 2^(6n+1) # 64 · 2^(6n+1) - 55 · 2^(6n+1) # 9 · 2^(6n+1) (mod 11)

Y si en una suma cambiamos un sumando por otro congruente se mantiene el resultado de la congruencia.

9 · 3^(2n+2) + 64 · 2^(6n+1) # 9 · 3^(2n+2) + 9 · 2^(6n+1) # 9[3^(2n+2) + 2^(6n+1)] (mod 11)

Y ahora usamos la propiedad de que la congruencia del producto es el producto de las congruencias. Pero si nos fijamos tenemos dos factores, el 9 y otro que es exactamente la expresión de lo que debemos demostrar para n, luego esto segundo es congruente con 0 por hipótesis de inducción. Resumiendo:

3^[2(n+1)+2] + 2^[6(n+1)+1] # 9 · 0 # 0 (mod 11)

Luego para n+1 también es congruente con 0 módulo 11

Luego queda demostrada la inducción y la expresión es congruente con 0 modulo 11 para todo n€N, o lo que es lo mismo, es múltiplo de 11.

Y eso es tdo.