Solución ejercicio 5 pagina 167

La ecuación del plano tangente en un punto (xo, yo, f(xo, yo)) es

z = zo + fx(xo,yo)(x-xo) + fy(xo,yo)(y-yo)

Donde fx es f sub x que es la derivada parcial respecto x, y fy es la derivada parcial respecto y. Uso esa notación mucho más cómoda para escribir a máquina.

Dado un plano de la forma

Ax + By + Cz + D = 0

el vector normal al plano es

(A,B,C)

Luego si ponemos ese plano tangente con esa forma de ecuación tendremos que el vector normal es

(fx(xo,yo), fy(xo,yo), -1)

debemos ver que este vector es paralelo a (xo, yo, f(xo,yo)), vamos a hacerlo.

f(x,y) = (1-x^2-y^2)^(1/2)

fx(xo,yo) = -xo / (1-xo^2-yo^2)^(1/2)

fy(xo,yo) = - yo / (1-xo^2-yo^2)^(1/2)

Luego el vector normal es

(-xo / (1-xo^2-yo^2)^(1/2) , - yo / (1-xo^2-yo^2)^(1/2) , -1)

lo multiplicamos por el denominador y quedará una paralelo

(-xo, -yo, - (1-xo^2-yo^2)^(1/2)) =

y solo queda multiplicarlo por -1

(xo, yo, (1-xo^2-yo^2)^(1/2)) = (xo,yo, f(xo,yo))

Luego el vector normal al palno tangente es paralelo a (xo, yo, f(xo, yo))

Y eso es todo.