¿Ayuda con superficies cuadráticas?

Pero tiene que haber muchos expertos mejores que yo.

1) Vemos que aparecen 2y, 2z luego en ellas habrá que completar cuadrados. Inmediatamente siempre después del cuadrado completado se tiene que restar o sumar lo que hemos puesto de más o menos para que no se olvide. El cuadrado en z es un poco más complicado por estar en negativo.

x^2 + (y-1)^2 - 1 - (z-1)^2 + 1 = 1
x^2 + (y-1)^2 - (z-1)^2 = 1
x^2 + (y-1)^2 = 1 + (z-1)^2
Si lo traemos el origen la ecuación será
x^2 + y^2 = 1+z^2

 Y mirando en:

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-superficiescuadraticas/index.html

encontramos que esa ecuación corresponde a un hiperboloide de una hoja

2)

z = -x^2 - y^2

x^2 + y^2 = -z

 Y mirando vemos que se corresponde con un paraboloide elíptico. EL hecho de que z tenga signo menos lo que hará es que tenga forma de copa hacia abajo.

3)

4x^2-y^2-z^2=1

Aparece directamente tal cual. Es el hiperboloide de dos hojas.

Y eso es todo.