Urgente Agapornis

Te aconsejaría que les pusieses piedras de calcio (de las que se venden en las pajarerías) o espinas de sepia secadas, ya que eso además de darles calcio les desgastará el pico ya que se rascarán con él.
Además, si puedes conseguirlo fácilmente, puedes ponerles alguna rama siempre que la laves primero (ya sabes que sino puede ser que lleve insecticidas). Seguramente la usarán para desmenuzarla y así, al usar el pico, ayudará a que se les desgaste.

Muchas Gracias por la respuesta.
¿No crees que si fueran hongos se habrían infectado los dos?
Ahora está recuperando un poco de plumaje y parece que ya no se toca el lomo con el pico.
Aun así lo llevaré al veterinario.
Ambos tienen el pico un poco largo. ¿Se lo puede cortar yo? ¿Es fácil cortárselo?
¿Me aconsejas algo para que se le desgaste? Tengo puestos varios juguetes de madera pero se han aburrido pronto de ellos.
De nuevo gracias y un saludo

Te aconsejaría que lo llevases a que lo viese un veterinario ya que pueden ser varias cosas.
Podría ser que tu agaporni tuviese una infección de hongos. Esta infección hace que le caigan las plumas, pero lo de que tenga sangre puede ser de que le moleste y se lo toque con el pico, con lo cual el mismo se hace sangre (como cuando a ti te pica algo y te lo rascas demasiado).
También podría ser carencia de alguna vitamina, aunque creo que hay más posibilidades de que sea lo otro.
Te aconsejo que lo lleves a un centro especializado en aves ya que ellos podrán decirte exactamente que es y si es un hongo podrán darte alguna medicación con la que tratarlo.
Siento no poder ser de más ayuda.