Como autónomo: problema con la fecha del contrato de servicios, fecha 1ª factura y fecha del alta

Hola tengo una consulta que espero me podáis ayudar a resolver (muchas gracias de antemano!)

Hoy a día 21 de Nov estoy en paro, cobrando la prestación.

Me propusieron trabajar como autónomo y lo estoy haciendo desde el 1 de Nov

Mi idea es darme de alta en hacienda y en la SS como autónomo el 1 de Dic (de esta manera aun percibiré mi cuota del paro entera el 10 de Dic) y:

- Emitir mi primera factura de servicios el día 2 Dic (se supone que la cobraré a 30 días)

¿es legal? ¿Cantaría mucho?

Por otro lado, la empresa cliente y yo vamos estamos a punto de firmar un contrato de arrendamiento de servicios...

- Para que todo cuadre debería poner que la fecha contrato es el 1 de dic? O no pasaría nada si pongo, por ejemplo el día de hoy? Ese contrato se registra y coteja por hacienda o por la SS?

Muchas gracias!!!!