Contrato cuidadora persona mayor

Hola, ante todo gracias por su interés.

Mi abuela tiene una persona viviendo con ella en su casa que es la que se ocupa de ella, como esta sin contrato ni seguro, queremos asegurarla según la nueva ley de las empleadas de hogar, pero tenemos algunas dudas.

Esta persona esta todo el día en casa con mi abuela, tiene un día y medio de fiesta a la semana, hay semanas que se marcha, pero hay otras que prefiere venir a dormir a casa.

Mi pregunta es ¿que clase de contrato tenemos que hacerle?, no puedo hacerle un contrato por horas, ya que es todo el día ya que es su domicilio habitual.¿Hay un contrato especial en estos casos?.

Si es así, ¿donde puedo encontrarlo?, ¿que tengo que hacer para darle de alta en la Seguridad Social?.

Otra de las cosas que me preocupa, es que esta persona no tiene papeles aquí en España,(cosa que yo ignoraba),  me ha dicho que solo puede arreglarlos cuando tenga un contrato,¿pero y si se los deniegan?.

Gracias.