Problemas con los correos en el smartphone

Hola antes de nada agradecerle su tiempo y respuesta, mi problema es el siguiente:

Tengo un Xperia Z1, con movistar, ilimitado y 1 Gb de datos, el caso que hace cosa de 1 semana me esta dando problemas a la hora de entrar y enviar los correos, el teléfono me avisa cuando entra un correo de forma acústica, (esto es normal y lo hace bien) pero el caso es que cuando entra un correo me da un error y me dice " no es posible establecer la conexión" cuando pincho en este mensaje me pone como que la contraseña o la cuenta de correo no es la suya (pero si que es esa), vuelvo a ponerla y otra vez lo mismo. Pero el caso es que el mensaje de correo si que aparece y entra, pero claro el móvil se vuelve loco avisándome que entra el correo y que no es posible establecer la conexión( todo me lo hace por duplicado uno para el correo que entra y otro aviso acústico por el problema de la conexión) y es un incordio que empiece apitar todo el rato. Tal vez sea por que este mes me haya quedado ya sin los datos del móvil (ya he consumido el Gb que tengo )? Es la primera vez que he consumido todos los megas que me ofrece la compañía de datos.

Otra cosa que me hace algunas veces es que cuando estoy dentro de alguna app o juego y salgo del mismo el fondo de pantalla que tengo sale en negro y en baja calidad tipo EGA (cuando los ordenadores tenían EGA, VGA, etc...) para quitar esto tengo que reiniciar el teléfono y otra vez todo bien. Esto me lo lleva haciendo desde que instalé un parche para tener monedas ilimitadas en un juego, y no sé si sera por esto. Y claro no quiero tener que reiniciar el teléfono de fabrica.

Pero vamos ahora mismo lo que mas me preocupa es lo del correo.

Muchas gracias, un saludo