Eso o lo haces con ajax o mediante javascript que más o menos es igual. Lo que ajax manda conexión al servidor sin recargar y javascript modifica elementos de la página sin recargar también
La manera de sacar por javascript el valor del combobox es:
function sacarvalor(){
var valor = document.getElementById("elcombo").value;
//Aquí decides que quieres hacer con el valor.
}
este código iría entre las etiquetas <script> y </script>
y luego en el body iría el combo box
<select name="elcombo" id="elcombo" onChange="sacarvalor()">
<option value="opcion1">Opción 1</option>
<option value="opcion2">Opción 2</option>
<option value="opcion3">Opción 3</option>
</select>
Lo que sacas con javascript es lo que está en value="" de la opción seleccionada.
Si seleccionas Opción 1, javascript te daría opcion1
En el <select> se pone onChange y la función para que cada vez que se cambie de valor se ejecute la función y saque el valor