Problema con applet

Es evidente que el problema no es de java porque si no no se vería tampoco en el mozilla. ¿El problema puede se de la etiqueta html que usas para meter el applet en el código html?
Cual estas usando. Ahora mismo no se cual es la correcta pero revisa eso porque el problema puede venir de ahí

Sin más datos no sabría decirte porque falla.
En versiones anteriores de explorer usar la etiqueta"object" en lugar de "applet" en el html no funcionaba, pero creo que no es ese tu problema.
¿Te has dado cuenta si te sale una alerta de seguridad? Si intentas ejecutar un html desde una ruta local (C:\miscosas\fichero.html) explorer muestra una advertencia de seguridad informando de que corres un peligro potencial (no recuerdo exactamente si se ve siempre o no, pero sé que se ve al menos un icono) puesto que durante mucho tiempo ha habido problemas de seguridad por eso, y la gente de microsoft se han curado en salud.
Si ves la alerta de seguridad solo tienes que pulsar en aceptar que asumes los riesgos y listo. Si no sale la alerta de seguridad necesitaría saber más datos.

Si me pusieras un poco de código podría ayudarte
el problema puede ser de varias fuentes, del explorer ya que el mismo difiere de opera y del firefox, al menos en javascript, en applets no estoy seguro.
También como dices puede ser problema de código de java

MS Internet Explorer da muchos problemas a la hora de maquetar páginas web, presentar applets o cargar cualquier componente más o menos complejo. Esto ocurre porque no respeta los estándares, así que el problema no es de la máquina de Java sino del Explorer en sí. El único consejo que puedo darte es que intentes probarlo de otras maneras, o bien indiques en la página que para visualizar el applet se necesita Mozilla Firefox o un navegador similar.
Suerte.