Las matrices en Java se crean como arrays bidimensionales. En tu caso algo así:
int dimension_matriz=15;
int[][] matriz = new int[dimension_matriz][dimension_matriz];
Luego tendrás que rellenar la matriz con los números aleatorios. En java existe la clase java. Útil. Random, que tiene el método nextInt(). Te recomiendo que te leas este
artículo de cómo generar números aleatorios en java usando java. Útil. RandomTe tendrás que recorrer la matriz con dos bucles for anidados, para recorrerte las filas y las columnas.
Para imprimir los elementos de la diagonal principal, localiza los elementos donde el nº de fila sea igual al nº columna,
Para imprimir los elementos de la diagonal inversa, localiza los elementos donde el nº de fila más el nº columna sea la dimensión de la matriz.
Para saber los pares e impares, recorrete toda la matriz, y ve actualizando dos contadores, numpares y numimpares, y vas sumando uno cuando encuentres un nº par o un impar.
Para saber si un numero es par, calcula el resto de dividir ese número entre dos. Si da 0 es par, si da 1 es impar. Esto se hace con el operador
%, es decir:
resto = dividendo%divisor;
Como verás, te estoy dando nociones para que lo programes tú. Si tienes alguna duda concreta del proceso, preguntame e intentaré resolverla, pero te recomiendo que googlees un poco.