Definiciones de seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica

Las definiciones son estas:

Seno hiperbólico:

sh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2

Coseno hiperbólico:

ch(x) = [e^x + e^(-x)] / 2

Tangente hiperbólica:

th(s) = sh(x) / ch(x) = [e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]

Esas son las fundamentales, también están la cotangente, secante y cosecante hiperbólicas que son las recíprocas de estas de manera totalmente similar a las trigonométricas

Se llaman hiperbólicas porque sus valores se corresponden con las coordenadas de los puntos sobre una hiérbola equilátera.

La hipérbola equilátera tiene por ecuación

x^2 - y^2 = 1

si tomamos

x=ch(t)

y=sh(t)

tendremos

ch^2(t) - sh^2(t) = 1

Por lo cual el ch(t) representa la coordenada x de un punto de la hipérbola equilatera y el sh(t) la coordenada y de ese punto.

Comprobémoslo:

([e^x+e^(-x)] / 2)^2 - ([e^x-e^(-x)] / 2)^2 =

[e^(2x) + e^(-2x) +2] / 4 - [e^(2x) + e^(-2x) - 2] / 4 =

[e^(2x) - e^(2x) + e^(-2x) - e^(-2x) + 2 +2] / 4

4/4 = 1

La función coseno hiperbólico es la forma que adquieren los cables del tendido eléctrico. Es decir es la forma que adquiere un cuerpo flexible de forma que tenga la menor energía potencial. Es importante en Física.

Son muy útiles para resolver integrales del tipo

$$\begin{align}&\int \sqrt{a^2+x^2}dx\\ &\\ &y\\ &\\ &\int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}\end{align}$$

y otras donde aparezcan esas raíces cuadradas que mediante las sustituciones de Euler o sustituciones trigonométricas se pueden atragantar mucho  y cons sustituciones hipérbolicas pueden ser muy fáciles de resolver.

Y por eso, aunque sean composición de otras fuciones elementales, es muy útil considerarlas como funciones nuevas y estudiar sus propiedades.

Bueno, en los libros anglófilos encontrarás que las llaman sinh (o senh), cosh y tanh, pero son las mismas que yo he descrito.