¿Puedo operarme por lo privado y cobrar la baja de la SS? ¿Y si quiero operarme en otra Comunidad Autónoma?

Hace casi 11 meses tuve un accidente no laboral y me rompí la cabeza del húmero. Me operaron en la SS (Canarias) y estuve de baja desde entonces, hasta que se vio que con fisioterapia no conseguía mejorar, quedándome con una limitación y dolores, debido a una intervención quirúrgica inapropiada, según me comentaron varios expertos. Entonces, pedí el alta voluntaria y he decidido volver a operarme, pero esta vez quiero hacerlo con un buen especialista de la península. Mis preguntas son:

¿Si me opero por lo privado, tengo derecho a cobrar la baja, teniendo en cuenta que ya estuve 10 meses de baja anteriormente? Hasta ahora, mi convenio laboral me había pagado todo, sin recortes en ninguna paga (Educación concertada).

¿Puedo estar de baja en la Comunidad Autónoma donde me vaya a operar y realizar ahí la rehabilitación o necesito antes realizar el traslado de expediente? Esto me interesaría, ya que sería mi familia en la península la que me cuidaría en los primeros meses de porstoperatorio.