Termino de contrato e inicio de otro

Buenos días!

El día 31 del pasado mes terminé un contrato eventual por circunstancias de la producción y el día 1 de Septiembre firmé otro contrato del mismo tipo.

Mi pregunta es,¿tengo derecho a finiquito por haber cumplido dicho contrato aunque haya sido "renovado"?

Y si es así, ¿Se podría pedir dicha cuantía antes de la finalización del presente contrato?

Muchas gracias