Problema con ejercicio de matriz tipo columna

Gera Gogoretti!

a) Para que dos matrices se puedan multiplicar, si la primera es mxn, la siguiente debe ser nxp, y el resultado es una matriz mxp

Aqui tenemos la matriz A con dimensiones desconocidas mxn

La matriz x tiene dimensiones 3x1

La matriz resultado tiene dimensión 4x1

Luego debe cumplirse

(mxn) · (3x1) = (4x1)

N debe ser 3 para que se puedan multiplicar y m debe ser 4 para que el resultado tenga 4 como primera dimensión

Así que A es una matriz 4x3

·

b)

La escritura por columnas es sumamente incómoda

Llamemos

x1=(1,2,3)^t

x2=(5,2,1)^t

x3=(4,1,-2)^t

donde ^t significa transpuesto

tenemos

A·x1 = A·x2 = A·x3 = (5,7,9,8)^t

luego

A·x1 = A·x^2

A·x1-A·x2 = 0

Ax1 + A(-x2) = 0

por la propiedad distributiva respecto de la suma del producto de matrices

A[x1+(-x2)] = 0

llamando resta a la suma de un vector con el inverso de otro

A(x1-x2) = 0

Luego x1-x2 es una sulución de Ax=0. Lo mismo puedes comprobar que sucede con x2-x3 por ejemplo

así

x4 = x1-x2 = (-4, 0, 2)^t

x5 = x2-x3 = (1, 1, 3)^t

Y esas son dos soluciones.

.

c)

Ahora tienes

A·x1 = (5,7,9,8)^t

A·x4 = (0,0,0,0)

Si las sumas tendrás

A·x1 + A·x4 = (5,7,9,8)^t

A(x1+x4) = (5,7,9,8)^t

Luego

x5 = x1+x4 = (1,2,3)^t + (-4,0,2)^t = (-3, 2, 5)

Es una solución de A·x=(5,7,8,9)^t

Con los mismos argumentos puedes tomar x2+x5 como otra respuesta

x6 = x2+x5 = (5,2,1)^t + (1,1,3)^t = (6,3,4)^t

·

d)

A·x = 3·(5,7,8,9)^t

Multiplicamos por el inverso de 3

(1/3)A·x = (5,7,8,9)^t

y esto se puede poner como

A[(1/3)x] =(5,7,8,9)^t

Poniendo una de las soluciones que conocemos

x1=(1/3)x

x = 3x1

Luego podemos poner como solución

x7 = 3(1,2,3)^t = (3,6,9)^t

Y como la otra vamos a dar

x8= 3·x6 = 3(6,3,4)= (18,9,12)

·

Y eso es todo.

Muchísimas Gracias y discúlpame por ponerte un ejercicio tan difícil de escribir :/ , no me di cuenta, saludos :)

No, tu manda los ejercicios que tengas que mandar, si es pesado de escribir y lo es porque con testo normal es pesado escribir vectores columna y matrices, y en el editor no funcionan las matrices, ya buscaré la alternativa para responderlo. Para los vectores está clara, transformar las columnas en filas.

:) , bueno , gracias por la buena onda de siempre :D