Aplicaciones de las funciones continuas...ayuda!
Solicitando au apoyo en este problema de funciones continuas....Muchas gracias de antemano!
Supón que se tiene una colección de subconjuntos de un espacio métrico, A_j (con j en un conjunto de índices J).
Demuestra que si A_j es conexo ∀j∈J y ⋂_(j∈J)A_j ≠∅, entonces ⋃_(j∈J)A_j es conexo.
1 Respuesta
Zankass Plancarte!
Vamos a intentar encontrar dos abiertos disjuntos tal entre ambos contengan a la unión de conjuntos conexos y la intersección de la unión con cualquiera de los dos abiertos no es vacía.
Como los conjuntos A_j son conexos, no existen abiertos disjuntos que uno contenga una parte de A_j y otro la otra siendo ambas partes no vacias. Luego deberan ir unos A_j a un abierto y los otros a otra. Ahora bien, hay al menos un punto que es común a todos los A_j, entonces al abierto donde vaja ese punto irán todos los A_j y al otro abierto no irá ninguno. Por tanto la unión no será disconexa, y entonces será conexa.
Todo esto lo puedes escribir mejor con símbolos matemáticos y axiomas numerados, pero la idea está clara.
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Y eso es todo.
