Demostración Matemática de convergencia absoluta
Prueba que una serie es absolutamente convergente si y sólo si, el conjunto de todas las sumas finitas formadas con los términos a_n está acotado.
Me dicen que para esta demostración debo probar dos implicaciones: 1) si una serie es absolutamente convergente entonces cualquier subconjunto finito de sus términos (los que sean, no necesariamente en orden) suma menos que una constante (la misma para cualquier suma);
2) Si cualquier subconjunto finito de los términos de la serie suma menos que una constante, entonces la serie es absolutamente convergente. Utilizando las partes positiva y negativa de la serie para probar cada una de las implicaciones.
1 respuesta
·
Si una serie el absolutamente convegente significa que la serie de los valores absolutos es convergente. Entonces con todos los términos positivos se tiene que la suma de toda la serie es un número finito, ese número finito tiene la parte de la suma de los términos positivos y la parte igual al módulo de la suma de los negativos. Luego tanto la serie de los positivos como la de los negativos son convergentes y acotadas.
Cualquier conjunto finito que tomemos tendrá unos elementos positivos y otros negativos, la suma de los positivos esta acotada (P) y la de los negativos también (-N) luego la diferencia también estará acotada, estará en el intervalo [-N, P]
·
Y ahora la implicación contraria y la realmente importante.
Si cualquier conjunto finito suma menos que una constante tomaremos cualquier los conjuntos de positivos y negativos hasta un termino a_n
Como ambos están acotados por digamos C tendremos que los positivos suman de 0 a C o menos y los negativos de -C a 0
Con lo cual la suma de los valores absolutos hasta a_n sera
Suma <= C+C = 2C
Y esto para cualquier n, luego la serie estará acotada por 2C. Y al ser una serie monótona creciente en un espacio completo es convergente.
Y eso es todo.
