Sean H, K subgrupos de G y suponga que uno de ellos es normal en G. Demostrar que HK es subgrupo de G. Si ambos subgrupos son n
Maestro, buenas tardes, para solicitarle asesoría en esta demostración
Sean H, K subgrupos de G y suponga que uno de ellos es normal en G. Demostrar que HK es subgrupo de G. Si ambos subgrupos son normales, demuestre que entonces, también HK es normal en G.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Ambos son subgrupos luego por lo menos tienen el elemento neutro y el producto HK es no vació ya que tendrá el neutro también.
Falta ver que si a y b pertenecen a HK entonces ab^(-1) pertenece a HK
$$\begin{align}&a=h_1k_1 \qquad h_1\in H, k_1\in K\\&b=h_2k_2 \qquad h_2 \in H, k_2\in K\\&\\&ab^{-1}=h_1k_1(h_2k_2)^{-1}=h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1}=\\&\\&\text{Si el normal es K introducimos}\\&=h_1(h_2^{-1}h_2)k_1k_2^{-1}h_2^{-1}=\\&\\&h_1h_2^{-1}[h_2·(k_1k_2^{-1})·h_2^{-1}]=\\&\\&\text{lo del corchete}\in K \text{ por ser K normal}\\&\text{y los dos primeros son de H, luego}\\&ab^{-1}\in HK\\&\\&\text{Si el normal es H}\\&\\&=h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1}(k_2·k_1^{-1}·k_1·k_2^{-1})=\\&\\&h_1[(k_1k_2^{-1})h_2^{-1}(k_1k_2^{-1})^{-1}]·k_1·k_2^{-1}\\&\\&\text{lo del corchete}\in H \text{ por ser H normal}\\&\text{y con poco más se ve que cumple que}\\&ab^{-1}\in HK\end{align}$$·
Si ambos son normales tenemos que ver que
$$\begin{align}&(hk)g(hk)^{-1} \in HK\\&\\&(hk)g(hk)^{-1} =\\&\\&h(kgk^{-1})h^{-1}=\\&\\&\text{lo del paréntesis}\in K\\&\\&hk_2h^{-1}=\\&\\&h(k_2h^{-1}k_2^{-1})k_2=\\&\\&\text{lo del paréntesis}\in H\\&\\&=(hh_2)k_2\in HK\end{align}$$·
Y eso es todo.
