¿Cuáles deben ser las dimensiones de una lata para que se utilice el mínimo de metal posible?
Se pretende fabricar una lata de refresco cilíndrica (con tapa) de 750 cm3 de capacidad.
¿Cuáles deben ser sus dimensiones (radio “r” y altura “h”) para que se utilice el mínimo de metal posible (área mínima del material)?
Realice la función del área de la lata así como la gráfica de dicha función, indicando el valor mínimo del material a emplear
2 Respuestas
La superficie de la lata sera = 2pi x rh + 2pi r^2 ....sup. cara lateral + sup. de las tapas del cilindro.
Por el dato...Volumen= pi r^2 h = 750 cm^3....de aqui es...h= 750/ pi r^2
y llevando esto a la formula de superficie queda:
Spperficie cilindro = 2pi r 750/pi r^2 + 2pi r^2 = 1500/ r + 6.28 r^2
Derivas Area(r)especto de r ......dA/dr = -1500/r^-2 + 12.56 r = 0 ...para hallar minimo
1500/ 12.56 = r^3 ......................r= ( 1500/12.56)^1/3 = (119,426)^ 0.33 = 4.924
y h= 750/ pi r^2 = 750 / 3.14 x 4.924^2 = 9.85 cm.
O sea la altura del cilindro tiene que ser el doble del radio del mismo para cumplir con la condición de mínima área.
La funcion Superficie( radio) para dominio r>0... te daría una especie de parábola con un mínimo absoluto para r= 4.924 cm.
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¡Hola Iris!
La lata tendrá dos dimensiones fundamentales, el radio del cilindro y la altura.
El área será el área lateral más dos veces el área de la base
A =2pi·r·h + 2pi·r^2= 2pi·r(h+r)
Dado que la lata debe tener un volumen determinado se puede hallar la relación entre radio y altura
pi·r^2·h = 750
h = 750 / (pi·r^2)
Con lo cual la función del área tendra una sola variable y será
$$\begin{align}&A(r)=2\pi r\left(\frac{750}{\pi r^2}+r \right)=\frac{1500}{r}+2\pi r^2\\&\\&\text{derivamos e igualamos a 0}\\&\\&A'(r)=-\frac{1500}{r^2}+4\pi r=0\\&\\&\text{multiplicamos por r^2}\\&\\&-1500+4\pi r^3=0\\&\\&4\pi r^3=1500\\&\\&r^3= \frac{375}{\pi}\\&\\&r=\sqrt[3]{\frac{375}{\pi}}\approx 4.923725109\,cm\\&\\&h=\frac{750}{\pi \sqrt[3]{\frac{375^2}{\pi^2}}}=\frac{750}{\sqrt[3]{375^2\pi}}=\frac{30}{\sqrt[3]{9\pi}}\approx \\&9.847450218cm\end{align}$$:
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¡Ah, se me olvido!
La gráfica es esta. La variable es t en vez de r porque así lo exige el programa de hacer las gráficas.
Y el área mínima es
$$\begin{align}&A\left(\sqrt[3]{\frac{375}{\pi}} \right)=\frac{1500}{\sqrt[3]{\frac{375}{\pi}}}+2\pi\left(\sqrt[3]{\frac{375}{\pi}} \right)^2\approx\\&\\&456.9710839cm^2\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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