Tengo una duda con este problema de Geometria A.
Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya diferencia de los cuadrados de sus distancias a A(-2,0) y B(3,2) sea 10 10x+4y=19
2 respuestas
La distancia entre dos puntos se calcula como el módulo del vector:
$$\begin{align}&\vec{AP}=P-A=(x,y)-(-2,0)=(x+2,y)\\&\\&dist(A,P)=| \vec{AP}|=|(x+2,y)|=\sqrt{(x+2)^2+y^2}\\&\\&\vec{BP}=P-B=(x,y)-(3,2)=(x-3,y-2)\\&\\&dist(B,P)=|\vec{BP}|=\sqrt {(x-3)^2+(y-2)^2}\\&\\&dist(A,P)^2-dist(B,P)^2=10\\&\\&(x+2)^2+y^2-\Bigg [(x-3)^2+(y-2)^2 \Bigg ]=10\\&\\&x^2+4x+4+y^2-(x^2-6x+9+y^2-4y+4)=10\\&\\&10x+4y=19\\&\\&\\&\end{align}$$Saludos:
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Perfecto, no siquiera vamos a tener que usar raíces cuadradas, me ahorro tener que usar el editor de ecuaciones. Los cuadrados de las distancias eliminan esa raíz cuadrada con la que se miden las distancias y quedará
(x+2)^2+y^2 - [(x-3)^2+(y-2)^2] = 10
x^2 + 4 + 4x + y^2 - x^2 - 9 + 6x - y^2 - 4 + 4y = 10
simplificamos primero los cuadrados
4 + 4x - 9 + 6x - 4 + 4y = 10
10x +4y = 19
Es una recta evidentemente. Veamos si la gráfica nos hace ver algo.
Como suponía es perpendicular al segmento AB. Sobre la costrucción del punto C no veo nada, simplemente sería calcular una distancia AC que cumpliese
AC^2 - CB^2 = 10
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