Problema de paracaidista ecuaciones diferenciales

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¡Hola Oscar!

En este caso aparte de la fuerza de la gravedad tenemos la fuerza de rozamiento del aire que actúa hacia arriba y hace que el paracaidista descienda a menor velocidad.

La ecuación diferencial es

$$\begin{align}&-mg+kv = ma\\&\\&-g + \frac{kv}{m}= a\\&\\&\text{La velocidad es la derivada 1ª y la acelaración la 2ª}\\&\text{A la posición la llamaré y, ya que es vertical}\\&\\&-10 + \frac kmy'=y''\\&\\&y''-\frac kmy'=-10\\&\\&\text{La solución general de la homogénea es}\\&\\&\lambda^2 -\frac km\lambda=0\\&\\&\lambda_1=0\\&\lambda_2=\frac km\\&\\&y_{GH}= C_1e^0t+C_2e^{\frac km·t}= C_1+C_2e^{\frac {k\,t}m}\\&\\&\text{Como solución particular probamos con un monomio de grado 1}\\&y_{P}=C_3·t\\&y'_P=C_3\\&y''_P=0\\&\\&0-\frac km·C_3=-10\\&\\&C_3=10 ·\frac {m}k\\&\\&\text{Y la solución general de la ecuación completa es la}\\&\text{general de la homogénea más la particular de la completa}\\&\\&y(t)=C_1+C_2e^{\frac{k\,t}m{}}+ \frac{10mt}{k}·\\&\\&\text{Como }m=100\\&\\&y(t)=C_1+C_2e^{\frac{k\,t}{100}}+ \frac{1000t}{k}\\&\\&\text{Y dependiendo si está abierto o no el paracaidas variará k}\\&\\&\text{Calculemos las constantes para k =30 N·s/m sabiendo que }\\&\\&y(0) = 2000\quad \text{me gusta que el suelo sea el 0}\\&y'(0)=0\\&\\&y(t)=C_1+C_2e^{\frac{3t}{10}}+ \frac{100t}{3}\\&\\&C_1+C_2=2000\\&\\&y'(t)=\frac{3}{10}C_2 e^{\frac{3t}{10}}+\frac {100}{3}\\&\\&y'(0)=\frac{3}{10}C_2+\frac{100}{3}=0\\&\\&C_2=-\frac {1000}{9}\\&\\&C_1=2000+\frac {1000}9=\frac{19000}{9}\\&\\&\text{Para k=30 la función de posición es}\\&\\&y(t) = \frac {19000}9-\frac {1000}{9}e^{3t/10}+\frac {100t}3\\&\end{align}$$

Y deja que descanse, el ordenador ya no podía manejar ese cuadro de formulas.

Repásalo y mira a ver si está bien y si tú podrías terminar el ejercicio. Si puedes hacerlo dime como lo has hecho para verificarlo y si no me lo dices para terminarlo.

Saludos.

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Buen día maestro estoy en mi trabajo y no saldré hasta mañana de turno se me puede colaborar solucionando el final le agradezco que acá estoy es desde el Cel no tengo ordenador gracias feliz día 

buenas tardes maestro valero espero me ayude con el resto del ejercicio que mañana tengo que exponerlo le agradezco 

Si es que no veas como está esto de preguntas, no doy abasto. Y esta la dejaba porque es más difícil.

Vamos a hacer una fórmula un poco más general, para ello retrocedemos a cuando teníamos esto:

$$\begin{align}&y(t)=C_1+C_2e^{\frac{k\,t}{m}}+ \frac{10mt}{k}\\&\\&\text{Ahora hagmos que para t=0 la función }\\&\text{valga la altura inicial }y_0\\&\text{Y para t=0 la velocidad inicial sea }y'(0)=v_0\\&\\&y_0=C_1+C_2e^{0}+ 0\\&y_0=C_1+C_2\\&\\&v_0= \frac{k}{m}C_2+\frac{10m}{k}\\&\\&\frac kmC_2=-\frac {10m}k+v_0\\&\\&C_2=- \frac{10m^2}{k^2}+\frac{m}{k}v_0\\&\\&C_1=y_0+\frac{10m^2}{k^2}-\frac{m}{k}v_0\\&\\&\text{Y esa fórmula más general es}\\&\\&y(t)=y_0+\frac{10m^2}{k^2}-\frac{m}{k}v_0+\left(- \frac{10m^2}{k^2}+\frac{m}{k}v_0\right)e^{\frac{k\,t}{m}}+ \frac{10mt}{k}\\&\\&y(t)=\left(\frac{10m^2}{k^2}-\frac{m}{k}v_0\right)\left(1-e^{\frac{kt}{m}}  \right)+\frac{10mt}{k}+y_0\\&\\&\text{Incluso sería más general así}\\&y(t)=\left(\frac{gm^2}{k^2}-\frac{m}{k}v_0\right)\left(1-e^{\frac{kt}{m}}  \right)+\frac{gmt}{k}+y_0\\&\\&\text{Y así podemos poner g con más precisión que }10m/s^2\end{align}$$

Voy a mandar ya esto y luego continuo.

Y ahora vamos a ver la posición y velocidad a los 10 segundos, pondremos también la ecuación general de la velocidad que es la derivada

$$\begin{align}&y(t)=\left(\frac{gm^2}{k^2}-\frac{m}{k}v_0\right)\left(1-e^{\frac{kt}{m}}  \right)+\frac{gmt}{k}+y_0\\&\\&v(t)=-\frac km\left(\frac{gm^2}{k^2}-\frac{m}{k}v_0\right)e^{\frac{kt}m}+\frac{gm}k\\&\\&v(t)=\left(v_0-\frac{gm}{k}\right)e^{\frac{kt}{m}}+\frac{gm}{k}\\&\\&v(t) = \frac{gm}{k}\left(1-e^{\frac{kt}{m}}  \right)+v_0·e^{\frac{kt}{m}}\\&\\&\text{Casi es mejor la penúltima, cuestión de gustos}\\&\\&\text{Veamos dónde está y a qué velocidad a los 10s }\\&\text{con m=100, g=10, m=30, }y_0=2000,v_0=0\\&\\&y(10)=\left(\frac{10·100^2}{30^2}-\frac{100}{30}·0\right)\left(1-e^{\frac{30·10}{100}}  \right)+\frac{10·100·10}{30}+2000=\\&\\&\frac {1000}9(1-e^3)+\frac {1000}3+2000=\frac{1000(22-e^3)}{9}\approx\\&\\&212.71811196 m\\&\\&v(10)=\frac{10·100}{30}\left(1-e^{\frac{30·10}{100}}  \right)+0·e^{\frac{30·10}{100}}=\\&\\&\frac{100}{3}(1-e^3) \approx-636.1845m/s\\&\\&\\&\end{align}$$

No, está mal, habré tenido algún fallo porque no puede llevar esa velocidad tan grande ni haber descendido tanto cuando tendría que haber descendido menos de 500m

No se si podre corregirlo, tengo que irme.

Saludos.

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Voy a empezar de nuevo. Ya vi el fallo, La velocidad hacia abajo es negativa, por lo que mi fuerza de rozamiento no frenaba el objeto sino que lo hacía bajar más rápido todavía. Por tanto la fuerza de rozamiento es -kv

$$\begin{align}&-mg-kv = ma\\&\\&-g - \frac{kv}{m}= a\\&\\&\text{La velocidad es la derivada 1ª y la acelaración la 2ª}\\&\text{A la posición la llamaré y, ya que es vertical}\\&\\&-g - \frac kmy'=y''\\&\\&y''+\frac kmy'=-g\\&\\&\text{La solución general de la homogénea es}\\&\\&\lambda^2 +\frac km\lambda=0\\&\\&\lambda_1=0\\&\lambda_2=-\frac km\\&\\&y_{GH}= C_1e^0t+C_2e^{-\frac km·t}= C_1+C_2e^{-\frac {k\,t}m}\\&\\&\text{Como solución particular probamos con un monomio de grado 1}\\&y_{P}=C_3·t\\&y'_P=C_3\\&y''_P=0\\&\\&0+\frac km·C_3=-g\\&\\&C_3=-g ·\frac {m}k\\&\\&\text{Y la solución general de la ecuación completa es la}\\&\text{general de la homogénea más la particular de la completa}\\&\\&y(t)=C_1+C_2e^{-\frac{k\,t}m{}}- \frac{gmt}{k}\\&\\&v(t)= y'(t)=-\frac kmC_2e^{-\frac{k\,t}{m}}-\frac{gm}{k}\\&\\&\text{Debe tomar los valores iniciales para t=0}\\&y(0)=y_0,\quad v(0)=v_0\\&\\&y_0=C_1+C_2\\&v_0=-\frac{k}{m}C_2-\frac {gm}{k}\implies C_2= -\frac mk\left(v_0+\frac{gm}k  \right)\\&C_1=y_0+\frac mk\left( v_0+\frac{gm}k \right)\\&\\&y(t)=y_0+\frac mk\left( v_0+\frac{gm}k \right)- \frac mk\left(v_0+\frac{gm}k  \right)e^{-\frac{k\;t}{m}}-\frac{gmt}{k}\\&\\&y(t)=\frac mk\left(v_0+\frac{gm}k  \right)\left( 1-e^{-\frac{k\,t}{m}} \right)-\frac{gmt}{k}+y_0\\&\\&v(t)=\left(v_0+\frac{gm}k  \right) e^{-\frac{k\,t}{m}}-\frac{gm}{k}\end{align}$$

Ya no puede el ordenador con tanta fórmula, hay que hacer otro cuadro nuevo.

$$\begin{align}&\text{sustituimos los datos del vuelo si}\text{n paracaidas}\\&t=10,\; k=30,\;m=100,\;g=10,\;y_0=2000, \;v_0=0\\&\\&y(10)=\frac {100}{30}\left(0+\frac{10·100}{30}  \right)\left( 1-e^{-\frac{30\,·\;10}{100}} \right)-\frac{10·100·10}{30}+2000=\\&\\&\frac{1000}{9}(1-e^{-3})-\frac{1000}{3}+2000=\frac{1000}{9}(16-e^{-3})\approx\\&\\&1772.245881m\\&\\&v(10)=\left(0+\frac{10·100}{30}  \right) e^{-\frac{30\,·\;10}{100}}-\frac{10·100}{30}=\\&\\&\frac{100}{3}e^{-3}-\frac{100}{3}=\frac{100}{3}(e^{-3}-1)\approx\\&\\&-31.67376439m/s\\&\\&\text{Y tras esto ahora se moverá con la  función con}\\&k=90\\&y_0=\frac{1000}{9}(16-e^{-3})\\&v_0=\frac{100}{3}(e^{-3}-1)\\&\text{hasta llegar al suelo donde }y(t)=0\\&\\&0=\frac {100}{90}\left(\frac{100}{3}(e^{-3}-1)+\frac{10·100}{90}  \right)\left( 1-e^{-\frac{90\,t}{100}} \right)-\frac{10·100·t}{90}+\frac{1000}{9}(16-e^{-3})\\&\\&0=\left(\frac{1000}{27}(e^{-3}-1)+\frac{1000}{81}\right)\left( 1-e^{-\frac{9\,t}{10}} \right)-\frac{100·t}{9}+\frac{1000}{9}(16-e^{-3})\\&\\&0=\frac{1000(-2+3e^{-3})}{81}-\frac{1000(-2+3e^{-3})}{81}e^{-\frac{9\,t}{10}}-\frac{100·t}{9}+\frac{1000}{81}(144-9e^{-3})\\&\\&0=\frac{1000(142-6e^{-3})}{81}-\frac{1000(-2+3e^{-3})}{81}e^{-\frac{9\,t}{10}}-\frac{900}{81}t\\&\\&0=10(142-6e^{-3})-10(-2+3e^{-3})e^{-\frac{9\,t}{10}}-9t\\&\\&\text{como es irresoluble la pongo con decimales}\\&0=1417.012776+18.50638795e^{-0.9t}-9t\\&\\&t-2.056265328e^{-0.9t}=157.445864\\&\\&\text{fijémonos que el segundo termino tiende muy rápido a 0}\\&\text{luego}\\&t\approx 157.45 s\\&\text{A los que hay que sumar los 10 de antes}\\&Tiempo=167.45s\\&\\&\text{Y la velocidad de llegada es}\\&\\&v(157.45)=\left(-31.67376439+\frac{10·100}{90}  \right) e^{-\frac{90\,·\;10}{100}}-\frac{10·100}{90}=\\&(-31.67376439+11.11\overline 1)e^{-0.9}-11.11\overline 1\approx\\&-19.47126\,m/s\\&\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te llegue a tiempo y esté bien hecho, o no muy mal por lo menos.  Revisa todas las cuentas.

Saludos.

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