Determina si la siguiente matriz es diagonizable, en caso afirmativo calcula D , P y P^-1
Nos dan esa matriz y nos indica que comprobemos si es diagonizable y en caso afirmativo calcular la matriz diagonal D semejante y P y P^-1
2 Respuestas
·
·
¡Hola Javier!
Me temo que no te han dado una respuesta adecuada.
Calcularemos los valores propios de la matriz
|-t 0 0 |
| 0 -t 0 |=0
| 3 0 1-t|
·
t^2(1-t )=0
Los valores propios son t=0 (dos veces) y t=1
Calculemos los vectores propios. Comencemos por el 0 ya que si el espacio propio no tiene dimensión 2 ya la matriz deja de ser diagonalizable.
Solucionamos la ecuación cambiando t por 0, solo queda la tercera fila
3x + z = 0
z=-3x
Tomemos dos respuestas no dependientes, para x=1 y x=0
(1, 0, -3)
(0, 1, 0)
Ahi tienes dos vectores propios que son lo más independiente que se puede ser. Luego será diagonalizable
Calculamos ahora un vector propio para t=1
-1 0 0 | 0
0 -1 0 | 0
3 0 0 | 0
Se deduce x=0, y=0 luego tomamos (0,0,1)
Como habíamos dicho era diagonalizable, para dejarla lo más similar posible al la original pondremos los valores propios 0 en las dos primeras columnas y es
0 0 0
0 0 0
0 0 1
Y la matriz de paso es la que tiene los vectores propios como columnas, con el mismo orden que se pusieron los valores propios
1 0 0
0 1 0
-3 0 1
:
:
Esa matriz NO es diagonalizable (las dos filas en cero, hará que no puedas operar contra ellas, por lo tanto es como si tuvieses una sola fila)
gracias por la respuesta,pero podrías añadir una justificación matemática.
Las operaciones permitidas son:
1. Intercambiar filas
2. Sumarle a una fila, un múltiplo de otra fila
Dicho esto, no hay forma de hacer que en la celda central de la matriz consigas un valor distinto de cero, ya que todos los elementos de la segunda columna son cero.
¡Gracias por la respuesta!
Perdón, tomá la respuesta del profe que es la correcta! Igualmente voy a partir a partir de su matriz de paso, para calcular la matriz diagonal:
Como ya calculó el profe, tenemos que:
P =
1 0 0
0 1 0
-3 0 1
P^(-1) =
1 0 0
0 1 0
3 0 1
Y ahora tenemos que
C = P D P^(-1)
De donde (multiplico a izquierda por P^(-1) y a derecha por P y tenemos
P^(-1) C P = D
Lo que sigue lo voy a poner con una imagen pues esta página es muy mala para pegar tablas
