¿Cuando puedo iniciar el permiso de paternidad?

Pronto voy a ser padre y me gustaría tener claro mis derechos antes de "pelear" con la empresa. En mi caso soy funcionario de un ayuntamiento, es el tercer hijo, y tengo entendido que puedo empezar a ejercer el permiso de paternidad una vez que la madre (en activo) termine su baja por maternidad (también aprovecho para preguntar acerca del permiso y en qué condiciones tendría ella). Mi intención era disfrutar de los 3 días (creo) que da la empresa, en este caso el ayuntamiento, y disfrutar de la baja de paternidad una vez que la madre termine la suya. Hoy he estado en la sección de Personal del Ayto y me da la sensación que la chica que allí me informó no lo tenía muy claro... Agradecería cualquier aclaración antes de entrar con el cuchillo en los dientes!