¿Cómo funciona el contrato indefinido a tiempo parcial?

Trabajo a jornada completa en una empresa en la que en verano ve muy reducida su actividad y por lo tanto prescinde de mi. Hasta ahora, me han estado haciendo contratos temporales a jornada completa desde septiembre a junio, pero para el próximo septiembre van a hacerme indefinido. Me han comentado que van a hacerme un contrato indefinido a tiempo parcial porque no voy a trabajar el año completo, ¿es correcto?. Se me plantean varias dudas: ¿Cotizaría a tiempo completo (8 horas) como hasta ahora y luego en junio me darían de baja para volverme a contratar en septiembre? ¿Cuándo termine en junio tengo derecho a una indemnización?. ¿Podría cobrar el paro en los meses de verano?.