¿Debería mi contrato pasar de temporal a fijo discontinuo?

Trabajo 5 horas a la semana con contrato temporal como profesor de música en una escuela de música municipal desde octubre a junio ambos inclusive, de los años que llevo en total tengo 135 días cotizados, quisiera saber si mi contrato debería de ser considerado fijo-discontinuo ya que siempre realizo la misma actividad y también si los 3 meses en que no estoy en el contrato tengo derecho a alguna prestación por desempleo o ayuda, o cuanto tendría que tener cotizado para ellos.