Problemas sobre decimales,potenciación y radicacion

Ejercicio 4

No hay una propiedad mágica para hacerlo, tienes que aplicar un montón de veces las propiedades de raices/potencias para realizarlo, el objetivo principal es poner todas las bases dentro de una misma raiz para poder simplificar. Como en las fracciones, no puedes sumar 1/3+1/2 directamente, tienes que poner el denominador común para poder sumar.

De hecho una raíz es lo mismo que una potencia en forma de fracción.

p.e.: Raíz cuadrada es elevar un número a 1/2. Raíz cúbica es elevar a 1/3

La primera raíz se puede simplificar

$$\begin{align}&\sqrt[6] {x^3}=\sqrt[2] {x}\end{align}$$

miramos ahora numerador las raices son 2,4,2 el mínimo común múltiplo es 4

$$\begin{align}&\sqrt[6] {x^3}\sqrt[2] {x^5}\sqrt[4] {x^-3}=\sqrt[2] {x}\sqrt[2] {x^5}\sqrt[4] {x^-3}\\&=\sqrt[4] {x^2}\sqrt[4] {x^10}\sqrt[4] {x^-3}=\sqrt[4] {x^9}\end{align}$$

denominador. como hay una raíz de una raíz, tienes que colocar la de la izquierda dentro de la segunda raíz

$$\begin{align}&\sqrt[2] {x \sqrt[2]{x^3}} =\sqrt[2]{ \sqrt[2] {x^2 x^3}}=\sqrt[4]{x^5}\end{align}$$

ahora como el numerador y denominador tiene la misma raiz la puedes agrupar directamente

$$\begin{align}&\sqrt[4]{x^9}/\sqrt[4]{x^5} = \sqrt[4]{x^4}=x\end{align}$$

Ejercico 5

tienes que recordar que 9 = 3^2. Por tanto 9^(n+1) quedará como  una potencia de una potencia

9^(n+1)=3^(n+1)^2=3^(2n+2)

[3^(2n+1)+3^(2n+2)]/[3^(2n+2)-3^(2n+1)]

Luego es extraer factor común, ojo que hay que sacarlos con calma se puede extraer en común un 3^(2n+1) en todos los lados, pero ten encuenta que te queda una base en el 2n+1

[3^(2n+1)+3^(2n+2)]/[3^(2n+2)-3^(2n+1)]

En el numerador 3^(2n+1)[ 1+3]

en el denominador 3^(2n+1)[3-1]

se puede simplificar la potencia y queda 4/2=2

Ejercicio 6

1.88888...=17/9

0.22222...=2/9

1.33333...=4/3,

luego sólo hay que sumar fracciones

17/9-2/9=15/9=5/3

(5/3 )/ (4/3) = 5/4

la relación a/b = 5/4, a=5,,b=4