¿Cómo hallar el valor aproximado de CubeRoot[7] con 4 decimales por medio de Taylor?

Veamos que sale...(no me voy a detener mucho en la teoría, simplemente haré el ejercicio y si te queda alguna duda puntual, repregunta esa parte o revisa la teoría).

Como nos piden la raíz cúbica de 7, vamos a derivar la función, todavía no sabemos cuantas derivadas necesitamos, pero vamos a ir viendo si podemos deducir algo a medida que lo vayamos haciendo...

$$\begin{align}&f(x) = x^{1/3}\\&f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}\\&f''(x) = -\frac{2}{9}x^{-5/3}\\&f'''(x) = \frac{10}{27}x^{-8/3}\\&f^{iv}(x) = -\frac{80}{81}x^{-11/3}\\&f^{v}(x) = \frac{880}{243}x^{-14/3}\\&f^{vi}(x) = -\frac{12320}{729}x^{-17/3}\\&\text{Voy a cortar ahí, porque no veo ninguna expresión general, esperemos que alcance con 5 derivadas y la sexta}\\&\text{será para la expresión del error}\\&\text{Vemos que en todos los casos aparece la raíz cúbica, así que hay que definir el punto central de Taylor que sea}\\&\text{fácil de calcular este valor, en principio podría ser a=1 ó a=8}\\&\text{Veamos primero con a=1...}\\&P_5(x)=\frac{f(1)(x-1)^0}{0!}+ \frac{f'(1)(x-1)^1}{1!}+ \frac{f''(1)(x-1)^2}{2!}+ \frac{f'''(1)(x-1)^3}{3!}+ \frac{f^{iv}(1)(x-1)^4}{4!}+ \frac{f^v(1)(x-1)^5}{5!}+ \frac{f^{vi}(\psi)(x-1)^6}{6!}\\&\text{Te dejo para que hagas todas las cuentas, yo pondré directamente el resultado}\\&P_5(x)=1+ \frac{(x-1)}{3}- \frac{(x-1)^2}{9}+ \frac{5(x-1)^3}{81}- \frac{10(x-1)^4}{243}+ \frac{22(x-1)^5}{729}- \frac{172(\psi^{-17/3)})(x-1)^6}{8748}\\&Donde\ \psi \in(1, x)\\&Podemos\ rescribir\ P_5(x)\ como:\\&P_5(x)=1+ \frac{(x-1)}{3}- \frac{(x-1)^2}{9}+ \frac{5(x-1)^3}{81}- \frac{10(x-1)^4}{243}+ \frac{22(x-1)^5}{729}+ E_5(x)\\&Calculando\ \sqrt[3]{7}\ tenemos...\\&P_5(7)=1+ \frac{(7-1)}{3}- \frac{(7-1)^2}{9}+ \frac{5(7-1)^3}{81}- \frac{10(7-1)^4}{243}+ \frac{22(7-1)^5}{729}+ E_5(7)=\\&=1+ 2- 4+ \frac{40}{3}- \frac{160}{3}+ \frac{704}{3}+ E_5(7)=\\&=\frac{581}{3}+E_5(7)\\&\text{Claramente esta función diverge, porque cada término agregado es mayor al anterior...(además sabemos que el resultado debe ser menor que 2)}\\&\text{Hagamos un nuevo intento pero definiendo como punto central a=8, se supone que por estar más}\\&\text{cerca de la función a evaluar, la funciónm debería dar mejor...}\\&P_5(x)=\frac{f(8)(x-8)^0}{0!}+ \frac{f'(8)(x-8)^1}{1!}+ \frac{f''(8)(x-8)^2}{2!}+ \frac{f'''(8)(x-8)^3}{3!}+ \frac{f^{iv}(8)(x-8)^4}{4!}+ \frac{f^v(8)(x-8)^5}{5!}+ \frac{f^{vi}(\psi)(x-8)^6}{6!}\\&Donde\ \psi \in(x, 8)\\&P_5(x)=2+ \frac{(x-8)}{12}- \frac{(x-8)^2}{288}+ \frac{5(x-8)^3}{20736}- \frac{5(x-8)^4}{248832}+ \frac{11(x-8)^5}{5971968}- \frac{172(\psi^{-17/3)})(x-8)^6}{8748}\\&Evaluando\ en\ x=7\\&P_5(7)=2+ \frac{(7-8)}{12}- \frac{(7-8)^2}{288}+ \frac{5(7-8)^3}{20736}- \frac{5(7-8)^4}{248832}+ \frac{11(7-8)^5}{5971968}- \frac{172(\psi^{-17/3})(7-8)^6}{8748}=\\&=2- \frac{1}{12}- \frac{1}{288}- \frac{5}{20736}- \frac{5}{248832}- \frac{11}{5971968}- \frac{172(\psi^{-17/3})}{8748}=\\&=\frac{11423965}{5971968}+E_5(7)\\&\text{Vemos que esa fracción es 1.9129...por lo que puede llegar a ser un resultado posible}\\&\text{Veamos que podemos decir de }E_5(7)\\&|E_5(7)| =  \bigg|\frac{172(\psi^{-17/3})}{8748} \bigg|..........Donde\ \psi \in(7, 8)\\&\text{Intentemos acotar esa expresión del error...}\\&\text{(sabemos que todos los valores son positivos, así que podemos sacar el módulo)}\\&\frac{172(\psi^{-17/3})}{8748} =\frac{43}{2187(\psi^{17/3})} < \frac{43}{2187(7^{17/3})} <\frac{43}{2187(7^{15/3})}=\\&=\frac{43}{2187(7^{15/3})}=\frac{43}{2187 \cdot 16807}<\frac{45}{2187 \cdot 16807} = \frac{5}{243 \cdot 16807} <\\&< \frac{5}{240 \cdot 16807} =  \frac{1}{48 \cdot 16807} = \frac{1}{806736}\\&\text{Claramente ese error tiene mas decimales de precisión que los 4 que te piden}\\&\text{De hecho}\\&\frac{1}{806736} \approx 1.24 x10^{-6} \text{ (por lo que seguro tiene 5 decimales de precisión}\\&\text{De hecho esto es una cota del error que te dice que está bien, si haces los cálculos con calculadora, en realidad}\\&\text{el error entre la raíz usando la calculadora y el cálculo con el polinomio da un error de }1.99x10^{-07}\end{align}$$

Salu2