¿Tienen los trabajadores de la misma empresa los mismos derechos?

Trabajo en una empresa desde hace 10 años. El año pasado fui padre y tras el permiso de paternidad volví al trabajo. Pactamos una jornada de 7 a 15h aunque en realidad hago 30 minutos menos cada día y recupero la tarde del viernes (todo para poder compaginar los horarios con mi pareja y poder cuidar a nuestro hijo), pero ahora la empresa quiere que trabaje una tarde más (un día pasaría de ser de horario de mañanas a jornada partida y quieren que cada día entre un poco más tarde -7:30-8:00-). En mi contrato no aparece ningún horario pero como digo pactamos de 7 a 15h . El horario en el calendario elaborado y sellado por la empresa indica que la jornada de todos los trabajadores es de 8h a desarrollar entre las 7 y las 18h.
Hace dos años una compañera de trabajo de mi misma categoría, titulación y funciones, tras su baja maternal solicitó para poder conciliar su vida laboral y familiar, trabajar desde casa y acudir a su puesto de trabajo un día únicamente a la semana. La empresa se lo concedió y a día de hoy continua haciendo lo mismo.
Me pregunto si yo debería tener el mismo derecho que ella ya que estoy en idéntica situación tras la baja paternal. La empresa alega que es libre de conceder ese privilegio a ella y negarmelo a mi. ¿Qué base legal podría haber a mi solicitud? El sentido común me dice que debería tener el mismo derecho y que estoy siendo discriminado pero desconozco la base legal que a fin de cuentas es lo único que importa.
Tampoco se si la modificación del horario que pretende la empresa puede considerarse una Modificación sustancial de las Condiciones de Trabajo.
Mi convenio no dice nada al respecto. Solo que se ceñirá a ley de conciliación vigente.
Si alguien me pudiera contestar se lo agradecería enormemente porque si acabo haciendo el horario que quiere mi empresa no tendré con quien dejar al cuidado de mi hijo aquella tarde.