Anónimo
¿Cómo resuelvo el siguiente problema de geometría?
Construya un rectángulo cuya área sea la de un cuadrado conocido (Se puede utilizar cualquier cuadrado) y conociendo: la suma de sus lados, la diferencia de sus lados. (Se pueden asumir medidas arbitrarias)
Respuesta de Karl Mat
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Digamos que el cuadrado tenga área igual a
$$\begin{align}&A_\square=q^2\end{align}$$Supongamos que los lados del rectángulo sean x e y (desconocidos por supuesto). Lo que solo conocemos son:
$$\begin{align}&x+y=S\\&x-y=D\end{align}$$donde S y D son número conocidos, además sabemos que
$$\begin{align}&xy=q^2\end{align}$$Del primer sistema de ecuaciones tenemos
$$\begin{align}&x=\dfrac{S+D}{2}\\&\\&y=\dfrac{S-D}{2}\end{align}$$Luego de
$$\begin{align}&xy=q^2\\&\\&\dfrac{S^2-D^2}{4}=q^2\\&\\&D^2=S^2-4q^2\\&\\&D=\sqrt{S^2-4q^2}\\&\\&\text{Entonces los lados rectángulo miden }\\&\\&\Large\boxed{x=\dfrac{S+\sqrt{S^2-4q^2}}{2} ~\wedge ~y=\dfrac{S-\sqrt{S^2-4q^2}}{2}}\\&\\&\text{Donde $S$ es un número arbitrario y $q$ es el lado del cuadrado dado}\end{align}$$
Observación: de preferencia úsese
$$\begin{align}&\Large S\geq 2q\end{align}$$