Conciliación familiar en el trabajo

Acudo a vds. Para intentar resolver una duda. Tengo un trabajo en el que tengo de forma indefinida un turno de tarde (de 14:00 a 22:00 h.). Es una empresa en la que hay compañer@s en un turno de mañana y otros compañer@s en un turno de tarde. La norma no escrita es que cuando los compañer@s de la mañana dejan una vacante, pasa el de más antigüedad del turno de tarde a coger esa vacante del turno de mañana pues, como es lógico, es más "compatible con la vida". Ya llevo unos años en la empresa y soy el siguiente. Mi situación a cambiado pues ahora tengo un bebé y se me hace muy difícil conciliar mi vida profesional como mi vida personal/familiar. Dado que una reducción de jornada no me resolvería nada y en aras de conseguir esta conciliación y dado que la empresa puede facilitarme un turno de mañana, ¿tengo base legal para forzar a la empresa a que me facilite el acceso a ese turno de mañana? Muchas gracias a tod@s por vuestra ayuda.