Voy a intentar ayudarte, aunque en temas de conexión no soy tan "experto"...
Acabo de hacer una prueba (con Access 2007 y SQL Server Express 2008 R2) y te comento:
1º/ Al SQL Server Express le tengo configurado acceso mixto (autenticación de Windows y de usuario de SQL Server)
2º/ Desde Access voy a "Datos externos" -> Conexiones ODBC -> Vincular al origen de datos...
3º/ Voy a Origen de datos de Equipo - > Nuevo
4º/ En la siguiente pantalla le doy simplemente a Siguiente
5º/ En la siguiente ventana, selecciono SQL Server -> Siguiente y Finalizar en la siguiente ventana
6º/ Ahora sale la ventana para crear el origen de datos. Le pongo un nombre y selecciono el servidor.
7º/ Marco la opción de "autenticación de SQL Server...", el check de "conectar con SQL Server..." y le pongo el usuario y contraseña:
8º/ En la siguiente le marco la base de datos predeterminada:
9º/ En la siguiente ventana no hago ningún cambio y finalizo el asistente tras comprobar que la conexión funciona correctamente.
10º/ Justo al finalizar, me salta la ventana de Inicio de Sesión de SQL Server:
Si ahí, una vez escrita la contraseña, marco la casilla de "usar conexión de confianza", ya no me vuelve a pedir la contraseña al acceder a la tabla, o consultas basadas en esa tabla, por más veces que cierre y abra la BD.
Si la conexión la haces por código, mira en esta web cómo es la cadena de conexión y cómo indicarle ahí el usuario y contraseña: https://www.connectionstrings.com/sql-server/
Un saludo.