Mi gato tiene un ojo hinchado y rojo.

No es malo que duerma, ya que el sueño es muy reparador. Y, claro, puede indicar que tiene afectado el estado general.

Mientras no ves otra cosa, yo te recomendaría darle 1 ó 2 dientes de ajo crudo al día (se lo bates en cualquier comida), por si tuviera algo de infección.

Si los gatos salen a la calle, generalmente se pelean con otro gato y suelen existir mordidas y rasguños, que normalmente se curan entre 2 o 3 días. Pero si la lesión es más grave, puede infectarse y por sí sola no se puede curar.

Te recomiendo que lleves a tu gato de inmediato con el veterinario.