Probar: Sea (X,M,μ) un espacio de medida y sea L1(μ) el conjunto de todas las funciones integrables, ...

Sea (X, M, μ) un espacio de medida y sea L1(μ) el conjunto de todas las funciones integrables, con el convenio de que dos funciones f, g ∈ L1(μ) son iguales si f(x) = g(x) en casi todo punto.

a) Probar que L1(μ) es un espacio vectorial.
b) Probar que la expresio ́n ∥f∥1 = 􏰈 |f|dμ define una norma en L1(μ).

X

c) Probar que si (X, M, μ) es completo entonces (L1(μ), ∥ · ∥1) es un espacio de Banach.